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Wie stelle ich eine Funktionsgleichung auf?

Eine gängige Aufgabe aus der Mathematik: Aus bestimmten Bedingungen soll eine Funktionsgleichung aufgestellt werden. Meist sind Punkte gegeben, durch die die Funktion gehen soll.

Aus drei Punkten lässt sich eine Parbel bestimmen.
Aus drei Punkten lässt sich eine Parbel bestimmen.

Was Sie benötigen:

  • Papier
  • Stift
  • (Radierer)
  • Taschenrechner

Funktionsgleichung einer Geraden aufstellen

  • Die Aufgabe ist, aus zwei gegebenen Punkten P1 und P2 die Funktionsgleichung der dazugehörigen Geraden aufzustellen.
  • Die allgemeine Form der gesuchten Funktionsgleichung lautet f(x) = mx + b. Dabei entspricht f(x) dem y-Wert der Geraden, m ist die Steigung und b der y-Achsen-Abschnitt.
  • Die beiden Unbekannten m und b müssen aus den beiden Punkten P1 und P2 bestimmt werden (dann kennen Sie die Gerade).
  • Neben dem Einsetzen in die Zwei-Punkte-Formel (die man sich merken muss) ist es auch möglich, zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten (m, b) aufzustellen und diese dann zu lösen.
  • Über die Punkte P1 und P2 wissen Sie, dass Sie die Funktionsgleichung erfüllen müssen (sonst liegen sie nicht auf der Geraden), das heißt x- und y-Werte werden einfach in f(x) eingesetzt. Man erhält für P1 eine Gleichung sowie für P2, in denen nur noch m und b als Unbekannt vorkommen.
  • Die beiden Gleichungen lassen sich mit den bekannten Verfahren (einsetzen, gleichsetzen, Additionsverfahren) oder mit dem Taschenrechner lösen.

Funktionsgleichung für eine Parabel aufstellen

  • Hier ist die Aufgabe, aus drei (!) gegebenen Punkten P1, P2 und P3 die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (Parabel) zu finden.
  • Die allgemeine Form dieser gesuchten Funktion lautet f(x) = ax² + bx + c. Unbekannte sind hier a, b, und c, die aus den drei Punkten bestimmt werden müssen.
  • Auch hier erfüllen die Koordinaten der Punkte die Funktionsgleichung. Setzt man also die x- und y-Werte der Punkte der Reihe nach in die gesuchte Funktionsgleichung ein, erhält man in diesem Fall 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten a, b und c.
  • Auch dieses Gleichungssystem lässt sich mit den bekannten Verfahren sowie mit dem Taschenrechner relativ leicht lösen.

Funktionsgleichung für ganzrationale Funktion aufstellen

  • Das Spielchen lässt sich beliebig komplizierter fortsetzen.
  • Die allgemeine Vorgehensweise für diesen Fall, bei dem aus bestimmten Bedingungen die ganzrationale Funktion bestimmt werden soll, erklärt dieser Artikel.
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