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Entfernen von Wurzeln im Nenner - so geht's

Entfernen von Wurzeln im Nenner - so geht's1:57
Video von Galina Schlundt1:57

Wurzeln im Nenner müssen Sie aus verschiedenen Gründen entfernen können, zum Beispiel um ein Ergebnis mit einem rationalen Nenner darzustellen oder um Gleichungen lösen zu können.

So werden Nenner rational

  • Der einfachste Weg, Quadratwurzeln aus dem Nenner zu entfernen, ist, den Nenner mit der Wurzel, die entfernt werden soll, zu multiplizieren. Da Sie den Wert des Bruchs nicht verändern dürfen, müssen Sie den Zähler mit der gleichen Zahl multiplizieren. Beispiel: Sie haben 3 / Wurzel 5 als Ergebnis einer Rechnung herausbekommen. Sie müssen also diesen Bruch mit Wurzel 5 erweitern und bekommen dann 3 x Wurzel 5 / 5 als Ergebnis, da Wurzel 5 x Wurzel 5 bekanntlich 5 ist.
  • An diesem Vorgehen ändert sich nichts, wenn das Ergebnis 3 / 2 x Wurzel 5 ist, auch in dem Fall erweitern Sie mit Wurzel 5, um den Nenner rational zu machen. Sie erhalten dann 3 x Wurzel 5 / 2 x 5, also 3 x Wurzel 5 / 10.
  • Dieses Verfahren können Sie auch anwenden, wenn Sie nichtquadratische Wurzeln haben. Zum Beispiel die 3. Wurzel aus 5² im Nenner. Was nichts anderes bedeutet, als das im Nenner 52/3 steht. Um eine nicht gebrochene Hochzahl zu erhalten, müssen Sie also mit 51/3 erweitern, weil die Hochzahlen (Exponenten) bei der Multiplikation bekanntlich addiert werden. 52/3 x 51/3 = 52/3+1/3 = 53/3 = 5. Somit würde also aus der 3. Wurzel 5² im Nenner eine 5. Auf die Wurzeln übertragen heißt dies, dass Sie mit der 3. Wurzel aus 5 erweitern müssen.

Diese Verfahren können Sie immer anwenden, wenn im Nenner nur eine Wurzel steht oder eine Wurzel, die mit einer Zahl multipliziert wird.

Entfernen von Wurzeln aus Summen

Wenn Sie im Nenner eine Summe oder eine Differenz stehen haben, nützt Ihnen diese Form des Erweiterns nichts, weil Sie jeden Summanden multiplizieren müssen. Wenn im Nenner 2 minus Wurzel 3 steht, würde ein Erweitern mit Wurzel 3 nur dazu führen, dass Sie 2 x Wurzel 3 minus 3 im Nenner haben. So können Sie Wurzeln im Nenner also nicht entfernen. Hier müssen Sie die 3. binomische Formel nutzen.

  1. (a-b)(a+b) = a²-b². Wie Sie deutlich sehen, erreichen Sie, wenn Sie diese Formel anwenden, dass aus 2 - Wurzel 3 der Ausdruck 2² - Wurzel 3 zum Quadrat wird, also 4 - 3.
  2. Sie müssen also wenn immer mit dem Term, der im Nenner steht, erweitern, aber statt Minus ein Plus für den Erweiterungsfaktor nehmen und statt plus ein Minus. Wurzel 3 minus 5 wird also mit Wurzel 3 plus 5 erweitert und Wurzel 3 plus 5 mit Wurzel 3 minus 5. So können Sie die Wurzeln im Nenner entfernen.

Denken Sie daran, dass Erweitern heißt, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl bzw. dem gleichen Term zu multiplizieren. Vergessen Sie nie, auch den Zähler zu multiplizieren!

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