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Brüche ausklammern - so wird's gemacht

Brüche ausklammern - so wird's gemacht3:47
Video von Lars Schmidt3:47

Selbst komplizierte Bruchterme lassen sich in vielen Fällen vereinfachen. Der Trick ist, im Zähler und im Nenner dieser Brüche, Passendes auszuklammern. Zwei Beispiele erläutern das Verfahren mit Ausklammern und Kürzen.

Ein Bruchterm - was ist das?

Unter einem Bruchterm verstehen Mathematiker einen Ausdruck, der sowohl im Zähler als auch im Nenner Terme mit Zahlen und Buchstaben (als Stellvertreter) enthält. Der Ausdruck (2x + 5)/x, ist dementsprechend ein Bruchterm,  2x + 5 jedoch nur ein einfacher Term.

Aus Brüchen ausklammern - zwei Beispiele

An zwei Beispielen soll gezeigt werden, wie Sie durch geschicktes Ausklammern im Zähler und Nenner von Brüchen, einen Bruchterm vereinfachen können. Die Vorgehensweise ähnelt im gewissen Sinne dem Kürzen. Hier erhalten Sie aus 4/8 = 1*4/2*4 = 1/2. Allerdings haben Sie es bei Brüchen mit Buchstaben und Zahlen zu tun. Das Ausklammern und Kürzen kann also komplizierter ausfallen:

  • Als Bruchterm sei (3x + x²)/(2x - x³) gegeben. Zunächst untersuchen Sie Zähler und Nenner getrennt und klammern dort so viel wie möglich aus. Sie erhalten 3x + x² = x(3 + x) sowie 2x - x³ = x(2 - x²). Für den Bruchterm erhalten Sie x(3 + x)/x(2 - x²). Sie können nun Zähler und Nenner durch "x" kürzen. Es ergibt sich der vereinfachte Bruchterm (3 + x)/(2 - x²).
  • Als zweites Beispiel sei der Bruchterm (4- b²)/(4 + b)² gegeben. Zunächst erscheint es, dass hier gar nichts ausgeklammert und auch kein Term gekürzt werden kann - Zähler und Nenner sind zu verschieden. Erinnern Sie sich an die binomischen Formeln! Es gilt 4 - b² = (4 + b)*(4 - b). Setzen Sie diese dritte Formel in den Bruchterm ein, erhalten Sie (4 + b)*(4 - b)/(4 + b)². Beachten Sie, dass (4 + b)² = (4 + b) * (4 + b). Der Term (4 + b) kann gekürzt werden und der Bruchterm vereinfacht sich dadurch erheblich zu (4 - b)/(4 + b).

Es sieht aus, als wäre das alles nur graue Mathetheorie. Für viele Schüler ist das auch so. Außer Rechenfertigkeiten zu trainieren, gibt es jedoch auch eine Anwendung, die Sie in der Oberstufe kennenlernen werden. Gebrochenrationale Funktionen, die aus einem Zähler und einem Nenner bestehen, können mit Ausklammern und Kürzen oft auf eine einfachere Form gebracht werden. So wird aus f(x) = (3x + x²)/(2x - x³) = (3 + x)/(2 - x²), wie im ersten Beispiel gezeigt wurde. Die gekürzte Funktion lässt sich nicht nur leichter berechnen, sondern auch einfacher ableiten.

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