Kehrwert einer Wurzel - so machen Sie den Nenner rational

Kehrwert einer Wurzel - immer nur Ärger

• Bildet man von einer nicht weiter auflösbaren Wurzel, beispielsweise √3 oder allgemeiner √a  den Kehrwert, so gelangt der (unangenehme) Wurzelausdruck unter den Bruchstrich, also in den Nenner des Bruchs: 1/√a.
• Wurzeln unter dem Bruchstrich sind meist mit umständlichen Rechenschritten verbunden, denken Sie nur an Hauptnenner. Daher wollen die meisten Mathematiker derartige Ausdrücke vermeiden.
• Um die Rechentechnik einzuüben, werden daher Schüler oftmals mit der Arbeitsanweisung "den Nenner rational machen" im wahrsten Sinne des Wortes gequält.
• Hinter dieser kryptischen Anweisung verbirgt sich jedoch eine im Prinzip nicht allzu schwierige Aufgabe, nämlich bei der Kehrwertbildung einer Wurzel durch einen Rechentrick dafür zu sorgen, dass die Wurzel unter dem Bruchstrich verschwindet (und dann das Rechnen mit dem Term leichter fällt).
• Der Ausdruck "rational" bedeutet in diesem Zusammenhang, dass ein ganz normale, nämlich rationale Zahl im Nenner des Bruchs stehen bleibt. Wurzelausdrücke sind nämlich (wenn man unter der Wurzel keine Quadratzahl hat) irrational. 


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Nenner rational machen - so funktioniert der Rechentrick

• Soll bei den Kehrwerten 1/√3 oder auch 1/√a der Nenner rational gemacht werden, so besteht der Rechentrick darin, den gesamten (!) Bruch mit √3 bzw. √a zu erweitern. Sie müssen also sowohl Nenner als auch Zähler mit dem Wurzelausdruck multiplizieren, damit der Wert des Bruches erhalten bleibt.
• Es gilt dann: 1/√3 _* √3/√3 = √3/3 bzw. für den allgemeinen Fall 1/√a _* √a/√a = √a/a, weil √a _* √a = a. 
• Das Verfahren ist übrigens auch bei komplizierteren Ausdrücken bzw. Kehrwerten anwendbar, beispielsweise 1/√a-b. Hier erweitern Sie mit dem kompletten Wurzelausdruck.