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a hoch x auflösen - so geht's

a hoch x auflösen - so geht's1:23
Video von Benjamin Elting1:23

Kennen Sie sich mit Exponentialgleichungen und Logarithmen aus? Dann sollten Sie auch a hoch x gleich y nach x auflösen können.

Was Sie benötigen:

  • Logarithmusgesetzte
  • natürlicher Logarithmus
  • Umkehrfunktion
  • Exponentialfunktion
  • Äquivalenzumformungen

Logarithmusgesetze und das Auflösen nach x

Gleichungen, die a hoch x enthalten und die Sie nach x auflösen möchten, gibt es sicherlich viele. Für die Lösung solcher Gleichungen benötigen Sie lediglich die Logarithmusgesetzte. Da es sich um einfache mathematische Formeln handelt, sollten Sie diese auch sicher beherrschen.

  • Insgesamt gibt es drei Logarithmusgesetze. Zur Lösung von Exponentialgleichungen werden Sie häufig das dritte Gesetz benötigen.
  • Dieses lautet loga(u)v = v*loga(u). a bezeichnet dabei die Basis des Logarithmus.

Gleichung mit a hoch x lösen

  1. Angenommen, Sie haben nun eine Gleichung, die den Ausdruck a hoch x enthält und Sie wollen diese mithilfe des obigen Logarithmusgesetzes nach x auflösen.
  2. Beispiel: Sie haben die Gleichung ax = y gegeben. Haben Sie schon eine Ahnung, wie Sie vorgehen müssen?
  3. Da es sich um eine Gleichung handelt, können Sie Äquivalenzumformungen durchführen. Wenden Sie also auf beiden Seiten den Logarithmus an. Welchen Logarithmus (also welche Basis) Sie hierbei verwenden, ist reine Geschmackssache. Häufig wird jedoch der natürliche Logarithmus verwendet, der die Basis e besitzt.
  4. Sie erhalten ax = y <=> ln(a)x = ln(y). Wie Sie vielleicht schon sehen können, haben Sie nun die Möglichkeit das obige Logarithmusgesetz anzuwenden.
  5. Also folgt x*ln(a) = ln(y). Teilen Sie nun beide Seiten durch ln(a) ungleich null und Sie haben das Ergebnis der Gleichung ermittelt.
  6. Es ist x*ln(a) = ln(y) <=> x = ln(y)/ln(a). Es steckt noch viel mehr hinter dieser Vorgehensweise. Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen. Analog können Sie Gleichungen, die beispielsweise den Ausdruck sin(x) enthalten, ebenfalls mithilfe der Umkehrfunktion, dem Arkussinus, lösen.

Sie sehen, die Vorgehensweise ist sehr einfach. Sie müssen lediglich die Logarithmusgesetze beherrschen und etwas über Umkehrfunktionen wissen.

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