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e^ln(x) = x - die mathematische Beziehung einfach erklärt

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e^ln(x) = x - die mathematische Beziehung einfach erklärt2:36
Video von Galina Schlundt2:36

Warum nur gilt "e^ln(x) = x"? Dies hat etwas mit der Definition des Logarithmus zu tun und lässt sich leicht erklären, wenn man e-Funktion und natürlichen Logarithmus in Beziehung zueinander setzt.

Was Sie benötigen

  • Grundkenntnisse Potenzen und Logarithmus

Der natürliche Logarithmus ln (x)

In der Oberstufenmathematik wird oft mit Exponentialfunktion f(x) = ex, die die Eulersche Zahl e (etwa 2,71) als Basis hat, gearbeitet. Historisch lässt sich diese ungewöhnliche Zahl als das Ergebnis eines Zinseszinsproblems erklären.

  • Zu dieser Exponentialfunktion gibt es eine Umkehrfunktion, nämlich den natürlichen Logarithmus f(x) = ln x (Sie können die Variable "x" hier in Klammern setzen, müssen es jedoch nicht).
  • Als gut verständliche Merkregel gilt: Die Exponentialfunktion bildet Potenzen, die Logarithmusfunktion "fragt" nach dem Exponenten.

Aber warum ist e^ln(x) = x?

Der Ausdruck "e^ln(x) = x" sieht aus, als sollte damit Leuten mit wenig mathematischer Vorbildung das Fürchten gelehrt werden. Dem ist jedoch nicht so, denn der Ausdruck lässt sich gut verstehen:

  • Zunächst einmal sollte man ihn so umschreiben e^ln(x) = eln x = x. Mit anderen Worten: Nimmt man die Umkehrfunktion von ex, nämlich ln x in die Potenz der e-Funktion, kommt wieder die Variable "x" heraus. 
  • Grund ist, dass sich Funktion und Umkehrfunktion gegenseitig aufheben. Es gilt ja auch (Wurzel(x))² = x, weil sich Wurzelfunktion und Quadratfunktion gegenseitig aufheben.
  • Ein bisschen erstaunt die Gleichung allerdings schon. Neben dieser mehr verständlichen Begründung kann man die Richtigkeit der Gleichung auch beweisen, dass e^ln(x) = x gilt. Hierfür bilden Sie auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus und erhalten ln (eln x) = ln x. Auf der linken Seite wenden Sie die bekannten Logarithmengesetze an: ln x * lne = lnx (da ln e = 1). 
  • Interessant ist auch noch die umgekehrte Schlussfolgerung. Es gilt nämlich "ln (ex) = x", was sich durch direkte Anwendung der Logarithmengesetze zeigen lässt.

Wo jedoch kommen solche mathematischen Ausdrücke vor bzw. werden sie gebraucht?

  • Den einfacheren Ausdruck "ln (ex) = x" benötigen Sie, wenn Sie sog. Exponentialgleichungen auflösen wollen (man kommt durch das Logarithmieren an die gesuchte Hochzahl).
  • Der kompliziertere Ausdruck eln x = x wird benötigt, wenn man Gleichungen lösen soll, bei denen die gesuchte Größe x im Logarithmus steht (hier kommt man durch das Potenzieren, also durch die Anwendung der Exponentialfunktion an die Unbekannte x).
helpster.de Autor:in
Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Dr. Hannelore Dittmar-IlgenHannelore hat Mathematik, Physik sowie Chemie und Pädagogik studiert und erklärt diese schwierigen Themenfelder schon immer gerne ihren Mitmenschen. Auch über ihre Hobbys schreibt sie leidenschaftlich gerne, das können unsere Leser in den Kategorien Essen & Trinken sowie Handarbeit entdecken. Sie ist eine unserer fleißigsten Autorinnen der ersten Stunde von HELPSTER.