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Nullstellen der Exponentialfunktion berechnen - so geht's

Hat die Exponentialfunktion überhaupt Nullstellen? In ihrer einfachsten Form nicht, als Funktionenkombination allerdings schon.

Nullstelle oder nicht?
Nullstelle oder nicht?

Was Sie benötigen:

  • Grundwissen Exponentialfunktionen

Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen

  • Die einfachste Exponentialfunktion hat die Form  f(x) = ex mit der Eulerschen Zahl e als Basis, bzw. f(x) = ax mit allgemeiner Basis a (größer Null).
  • Dabei handelt es sich um Funktionen, die mit größer werdendem x-Argument stets größere Funktionswerte annehmen - sogenannte Wachstumsfunktionen.
  • Eine Nullstelle liegt dann vor, wenn eine Funktion die x-Achse schneidet (oder berührt). An dieser Stelle gilt für den Funktionswert f(x) = y = 0 (Bedingung für Nullstellen). Wenn Sie jedoch den Graphen der Exponentialfunktion ansehen, so liegt dieser stets oberhalb der x-Achse. Die Funktion f(x) = ex hat also keine Nullstelle.
  • Rechnerisch müssten Sie aus der Bedingung ex = 0 einen passenden x-Wert finden. Bilden Sie hierfür auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus (als Gegenoperation zu "e hoch") und Sie erhalten ln (ex) = ln 0 und weiter x = ln 0. Bekanntermaßen können Sie den Logarithmus von Null nicht bilden, er ist nicht definiert.

Zusammengesetzte Exponentialfunktionen - ein Beispiel

In diesem Beispiel soll die zusammengesetzte Exponentialfunktion f(x) = (x²-1) * ex auf Nullstellen untersucht werden:

  1. Die Bedingung für Nullstellen lautet f(x) = 0. Sie setzen also (x²-1) * ex = 0.
  2. Der linke Teil dieser Gleichung ist ein Term, der aus zwei Faktoren besteht, die Sie einzeln auf Nullstellen untersuchen können (Erinnerung: a * b = 0, wenn entweder a = 0 oder b = 0).
  3. Sie setzen also x² - 1 = 0 und erhalten die beiden Nullstellen x1 = 1 und x2 = -1 als Lösung dieser quadratischen Gleichung.
  4. Der zweite Faktor ex = 0 hat (wie oben bereits erläutert) keine Lösung und liefert somit keine weitere Nullstelle.

Die Funktion f(x) = (x²-1) * ex hat somit die beiden Nullstellen N1 (1/0) sowie N2 (-1/0).

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