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Logarithmus - die Regeln einfach erklärt

Für viele Schüler (und auch Studenten) ist der Logarithmus ein Buch mit sieben Siegeln und die Regeln verwirren nur. Deshalb sollen diese hier einfach erklärt und mit Beispielen vorgeführt werden.

Wenn doch alles so einfach wäre.
Wenn doch alles so einfach wäre.

Logarithmus - das versteht man darunter

  • Der Logarithmus ist die Umkehrung zum Potenzieren (so wie das Wurzelziehen die Umkehrung zum Quadrieren darstellt).
  • Beim Potenzieren haben Sie eine Basiszahl (oft 2, 10 oder die Eulersche Zahl e) sowie eine Hochzahl und berechnen diese Potenz, zum Beispiel 106 = 1 Million (Merkregel: eine 1 und sechs Nullen). 
  • Beim Logarithmus läuft es anders herum: Auch hier haben Sie natürlich eine Basis (auch meist 2, 10 oder wieder die Eulersche Zahl). Jetzt suchen Sie jedoch die Hochzahl.
  • Beispielsweise sollen Sie bei der Aufgabe log10 5 (die Basis steht meist als kleine Zahl links unten) die Zahl x finden, sodass 10x = 5 ist. Der Taschenrechner liefert für diesen Fall x = 0,7 (zwei Stellen hinter dem Komma gerundet). Also 100,7 = 5.

Mit anderen Worten: Der Logarithmus ist die Frage nach der Hochzahl (die der Taschenrechner virtuos beantwortet)!

Die Regeln für den Logarithmus - an Beispielen erläutert

Wie jede andere Rechenart auch, gibt es auch für den Logarithmus einige Rechenregeln, die Sie immer dann benötigen, wenn es nicht nur um Zahlen, sondern um kompliziertere Terme und Ausdrücke (meist mit Buchstaben und/oder Unbekannten) geht. Diese nur drei Regeln sollen hier erläutert werden:

  • Es gilt log (a * b) = log a + log b. (Der Logarithmus ist additiv, was man mithilfe der Potenzgesetze beweisen kann). Am Beispiel log (3x) log 3 + log x. Diese Aufteilung benötigen Sie, wenn Sie Gleichungen mit Logarithmus auflösen müssen.
  • Weiter gilt log (a/b) = log a - log b. Auch diese Formel wird vor allem bei Gleichungen benötigt, denn es gilt zum Beispiel log (1/x) = log 1 - log x = - log x weil log 1 = 0!
  • Für das Auflösen von Potenzen im Logarithmus gilt ln (ab) = b * ln a, sprich: Die Potenz zieht sich einfach vor den Logarithmus. Nach dieser Regel vereinfacht sich log (√x) = log (x1/2) = 1/2 * log x. 

Bedenken Sie, dass es vorkommen kann, dass Sie beim Auflösen eines komplizierteren Logarithmusterms zwei oder vielleicht sogar alle drei Regeln anwenden müssen. Dies ist beispielsweise der Fall bei log (x * ax), wobei a eine reelle Zahl (ungleich Null) sein soll.

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