Steigung in Prozent – so erklärt es die Mathematik

Man findet es immer wieder, auf Karten und auch bei Tourenvorschlägen in Büchern: Geht es den Berg hinauf oder hinunter, wird die (mittlere) Steigung in Prozent angegeben. 

  • Prozent ist - aus dem Lateinischen "pro centum" - eine Angabe, die sich immer auf 100 bezieht. Somit ist Prozent immer unabhängig von den eigentlichen Größen, die damit beschrieben werden. 
  • 8 % Steigung (oder Gefälle) bedeutet somit, dass Sie bei einer horizontalen (!) Strecke von 100 m eine Höhe von 8 m hinauf (oder hinunter) müssen.
  • Ihre eigentliche Strecke kann jedoch viel kürzer oder viel länger sein. Darüber sagt der Prozentausdruck nichts aus. 

Steigungswinkel - so rechnen Sie in Grad um

Aus der Schulmathematik dürfte Ihnen bekannt sein, dass zu jeder Steigung auch ein Steigungsdreieck gehört.

  • Die Horizontale ist dabei die Streckenlänge, und die Vertikale, also die senkrechte Seite, dieses Dreiecks ist die Höhe, die Sie auf dieser Strecke überwinden müssen. 
  • Dieses Steigungsdreieck hat einen Winkel (meist Alpha genannt); im Allgemeinen ist es der (relativ kleine) Winkel am Anfang der Schrägen.
  • Mit diesem Winkel (in Grad) können Sie ebenfalls die Steigung charakterisieren, denn je größer dieser ist, desto steiler bergauf geht es. 
  • Steigung in Prozent und Steigung in Grad lassen sich leicht ineinander umrechnen. 
  • Zeichnen Sie dafür zunächst das Steigungsdreieck für die Prozentangabe: Die Horizontale beträgt 100 m, die vertikale Seite hat den Steigungswert in Prozent (8 m wie im Beispiel oben).
  • Für den Winkel "Alpha" gilt dann gemäß der Mathematik: tan (Alpha) = Steigungsprozent/100. 
  • Den Winkel selbst können Sie ausrechnen, indem Sie die inverse Tankgensfunktion (tan-1, INV TAN oder arctan auf dem Taschenrechner, je nach Modell) nutzen.
  • Für das vorliegende Beispiel ergibt sich also: tan (Alpha) = 8/100 = 0,08 und Alpha = arctan (0,08) = 4,57°. Der Winkel ist tatsächlich sehr klein, auch wenn Sie beim Radfahren tüchtig ins Schwitzen kommen könnten.

Theorie versus Praxis – Steigung im Alltag

Es stellt sich jedoch die Frage, ob man die mathematische Definition der Steigung in der Praxis, zum Beispiel als Rad- oder Autofahrer, überhaupt so anwenden kann.

  • Denn die Mathematik definiert die Steigung über die horizontale Strecke. Diese Strecke im Steigungsdreeick kennen Sie jedoch als Rad- oder Autofahrer gar nicht, sondern nur die zurückgelegte Strecke in der Schrägen, also die Hypotenuse des Steigungsdreiecks. Auch Karten sind so ausgelegt, dass Sie Entfernung und Höhen angeben.
  • Die horizontale Strecke, die für den Tangens erforderlich wäre, kennt man im Alltag also gar nicht; sie kann nur über den Pythagoras berechnet werden. Sie können sich allerdings behelfen, indem Sie den Steigungswinkel über den Sinus berechnen, da Sie die Hypotenuse als Fahrstrecke ja kennen.
  • Nun stellt sich die Frage, ob der „Fehler“, den man bei einer vorgegebenen (!) Steigung im Gelände, die i.A. nicht größer als 25 % sein dürfte, begeht, groß ist? Bei einer Steigung von 20 % beträgt der mit dem Sinus berechnete Winkel 11,5°, der mit dem Tangens berechnete 11,31°. Und tatsächlich unterscheiden sich Ankathete und Hypotenuse bei diesen extrem spitzwinkligen Dreiecken kaum (bei 12 % Steigung sind es 100 und 100,7 m), sodass man im Alltag nicht berücksichtigen muss, ob es sich um Hypotenuse oder Ankathete handelt bzw. Sinus oder Tangens verwenden kann. Tatsächlich stimmen die beiden Winkelfunktionen bis zu einem Winkel von etwa 20° in gewissen Grenzen überein.
  • Anders sieht die Sache natürlich bei größeren Steigungen und Winkeln aus, denn diese  Steigungsdreiecke laufen ja nicht mehr extrem spitzwinklig zu und der mathematische Unterschied zwischen Tangens und Sinus gewinnt an Bedeutung.