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Trinomische Formel - so gehen Sie bei der Berechnung vor

Trinomische Formel - so gehen Sie bei der Berechnung vor2:18
Video von Anna-Maria Schuster2:18

Binomische Formeln kennen die meisten noch aus der Schule - da gab es doch so etwas Vorgefertigtes, das man nur lernen musste. Ähnlich ist eine trinomische Formel, die man mit den gleichen Gesetzen berechnen kann.

Was Sie benötigen:

  • Bleistift und Papier
  • Grundwissen Algebra

Trinomische Formel - was ist das?

  • Eine trinomische Formel ist - genauso wie die binomische Formel - ein Klammerausdruck, der berechnet werden soll.
  • Bestand der Klammerausdruck bei der binomischen Formel aus zwei Teilen (bi = zwei), so hat man es hier mit einem dreiteiligen Klammerausdruck (tri = drei) zu tun.
  • Hat ein Binom die Form (a + b)², so kann dieser Ausdruck als Trinom zu (a + b + c)² erweitert werden. 
  • Allgemeiner können statt des Quadrates durchaus andere Potenzen (also zum Beispiel "hoch 3" oder "hoch n") auftreten. Auch für derartige Trinome gibt es vorgefertigte Formeln, in die man einsetzen muss. Allerdings sind die Formeln kompliziert, man kann sie sich kaum merken - im Gegensatz zu den binomischen Formeln, die den meisten Schülern mehr oder weniger geläufig sind.

Eine trinomische Formel berechnen - so gehen Sie vor

Das Problem sei auf den Fall (a + b + c)² reduziert, der in mathematischen Berechnungen, egal ob in Schule oder Beruf, doch häufig vorkommt.

  1. Um das Trinom (a + b + c)² zu berechnen, schreiben Sie zunächst die beiden Klammern aus und erhalten: (a + b + c) x (a + b + c)
  2. Beim Berechnen gilt die Klammerregel, vereinfacht gesagt: Jeder Teil mal jeder Teil. Dabei ist es günstig, sich zunächst "a" vorzuknöpfen und diesen Buchstaben mit jedem Buchstaben der zweiten Klammer zu multiplizieren. Dann kommt der Buchstabe "b" in der ersten Klammer dran.
  3. Es entstehen auf diese Art 9 Buchstabenterme, die noch zusammengefasst werden können. Sie erleichtern sich diese Arbeit, indem Sie die Terme schon beim Ausrechnen nach dem Alphabet sortieren, also nicht ba sondern ab!
  4. Beim Klammernauflösen erhalten Sie: a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c².
  5. Sie fassen zusammen und erhalten als trinomische Formel für diesen allgemeinen Klammerterm: a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Dabei wurden die Quadrate vorsortiert und die gemischten Ausdrücke hinten angestellt.
  6. Die Formel ähnelt tatsächlich ein bisschen der binomischen Formel (a + 2ab + b²), jedoch ist diese auf drei Buchstaben erweitert, sodass ein Quadrat mehr und auch weitere gemischte Terme auftreten.

Ob es empfehlenswert ist, diese Formel ebenfalls auswendig zu lernen, oder ob Sie trinomische Klammerausdrücke einfach "zu Fuß", sprich: jedes mit jedem, auflösen, müssen Sie natürlich selbst entscheiden.

Trinom - ein durchgerechnetes Beispiel

Als Beispiel soll (1 - 2x + x²)² berechnet werden. Beachten Sie, dass die Einzelterme im Trinom durchaus auch negativ sein können. Dies müssen Sie bei der Berechnung berücksichtigen!

  1. Sie schreiben das Trinom zunächst ausführlich hin und erhalten: (1 - 2x + x²)² = (1 - 2x + x²) * (1 - 2x + x²)
  2. Sie lösen die Klammern auf (jedes mit jedem) und berechnen: 1 - 2x + x² -2x + 4x² -2x³ + x² - 2x³  + x4
  3. Sie fassen diesen Ausdruck noch zusammen und erhalten: 1 - 2x + 6x² - 4x³ + x4. Beachten Sie, dass Sie nur gleiche Potenzen von x addieren können. Das Ergebnis sortieren Sie der Übersicht wegen nach Potenzen von "x".

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