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In Scheitelpunktform umformen - so klappt's bei einer Parabel

In Scheitelpunktform umformen - so klappt's bei einer Parabel3:36
Video von Galina Schlundt3:36

Zum Zeichnen einer Parabel ist die Scheitelpunktform natürlich ideal, da Sie aus ihr direkt den Scheitelpunkt ablesen können. Da eine Parabel allerdings nicht nur in der Scheitelpunktform, sondern auch in der Normalform angegeben sein kann, müssen Sie die Funktion oftmals umformen. Wie Ihnen das gelingt, lesen Sie hier.

Was ist die Scheitelpunktform und die Normalform ?

  • Vorab ist es gut zu wissen, was die Scheitelpunktform und was die Normalform einer Funktion ist. Die Scheitelpunktform sieht im Allgemeinen so aus: f(x) = a × (x - d)2 + e. Der Scheitelpunkt der Parabel hat die Form S(d/e).
  • Die Normalform hingegen hat die allgemeine Form f(x) = ax2 + bx + c. Aus dieser Form kann der Scheitelpunkt nicht direkt abgelesen werden, sodass ein Umformen nötig ist, wenn der Scheitelpunkt bestimm werden soll.

So gelingt das Umformen

  1. Sie haben eine Parabel der Form f(x) = ax2 + bx + c. Klammern Sie a aus, sodass Sie allgemein erhalten:
    f(x) = a × ( x2 + (b : a)x + c : a).
  2. Dividieren Sie (b : a) noch durch 2, so erhalten Sie nach den binomischen Formeln Ihr d der Scheitelpunktform. Indem Sie dieses d addieren, wieder subtrahieren und eine Klammer setzten, erhalten Sie diese allgemeine Form:
    f(x) = a × [( x2+ (b : a)x + (b : 2a)2 ) - (b : 2a)2 + c : a].
    Lassen Sie sich nicht beunruhigen, mit Zahlen ist dieser Vorgang deutlich einfacher und übersichtlicher.
  3. Die Klammer der allgemeinen Form aus dem Punkt 2 stellt eine ausgerechnete Form einer binomischen Formel dar. Durch Umformen in die Ausgangsform der binomischen Formel erhalten Sie folgende Formel:
    f(x) = a × [ (x + (b : 2a) )2 - (b : 2a)2 + c : a].
  4. Wenn Sie zuletzt die große Klammer auflösen, erhalten Sie Ihre Scheitelpunktform und Sie sind mit dem Umformen fertig:
    f(x) = a × (x + (b : 2a) )2 + [(b : 2a)2 + c : a)] × a.

Die Umformung an einem Beispiel

  1. Die Normalform unserer Beispielsparabel hat die Form:
    f(x) = 2x2 + 12x + 22. Sie klammern das a, also hier 2 aus. Somit erhalten Sie:
    f(x) = 2 × ( x2 + 6x + 11).
  2. Ihr d der Scheitelpunktform berechnen Sie, indem Sie die Zahl vor dem einfachen x durch 2 dividieren. Also erhalten Sie 6 : 2 = 3  für d. Nun wenden Sie die erste binomische Formel an und formen die Funktion entsprechend um. Dadurch erhalten Sie:
    f(x) = 2 × ( x2 + 6x + 32 - 32 + 11).
  3. Indem Sie nun eine extra Klammer um den Teil setzen, der die binomische Formel darstellt, erhalten Sie Folgendes:
    f(x) = 2 × [( x2 + 6x + 32 ) - 32 + 11].
  4. Formen Sie nun die innere Klammer in die Ausgangsform der binomischen Formel um, so erhalten Sie:
    f(x) = 2 × [( x + 3 )2 - 9 + 11].
  5. Lösen Sie die große Klammer auf.
    f(x) = 2 × ( x + 3 )2 (- 9 + 11) × 2 . Indem Sie den hinteren Teil der Funktion ausrechnen (( -9 + 11) × 2 = 2 × 2 = 4) , erhalten Sie endlich die Scheitelpunktform Ihrer Funktion:
    f(x) = 2 × ( x + 3 )2 + 4  und somit den Scheitelpunkt S (-3/4).

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