Binomische Formel mit 3 Variablen - so berechnen Sie sie

Die binomischen Formeln - das sollten Sie wissen

Die drei binomischen Formeln sind die Plage vieler Schüler, denn um Zeit zu sparen und weitere Arbeitsmethoden der Mathematik kennenzulernen, müssen diese auswendig gelernt werden. Noch heute können viele die Formeln aufsagen (wahrscheinlich jedoch nicht anwenden).

• Bei den binomischen Formeln geht es um nichts anderes, als dass sog. Binome, das sind Klammerterme, die quadriert werden, schnell und effektiv berechnet werden können, ohne umständlich der Regel "jedes mit jedem" für das Auflösen der Klammern zu folgen. Vom Zusammenfassen ganz zu schweigen.
• Es gibt drei binomische Formeln, nämlich die beiden "echten" Binome (a + b)² sowie (a - b)² sowie eine dritte der Form (a + b) _* (a - b), die die meisten Schüler übrigens leicht und einprägsam finden.

Binome mit 3 Variablen - so wird es gemacht

• Die üblichen, den meisten Schülern bekannten binomischen Formeln haben nur 2 Variablen, im Formelfall "a" und "b".
• Gerade jedoch für die beiden ersten binomischen Formeln ist es vorstellbar, dass im Klammerausdruck mehr als zwei Buchstaben auftauchen, im einfachsten Fall sind es drei Variablen a, b und c.


Klammer hoch 3 auflösen - so geht's

"Klammer hoch 3" wie zum Beispiel (2x - 7)³ - das sieht nach einigem Rechenaufwand aus. Stimmt! …

• Es entstehen Terme der Form (a + b + c)², wobei die Variablen positive und negativ sein können.
• Grundsätzlich können Sie natürlich solche Terme auflösen, indem Sie die beiden Klammern hintereinander weg aufschreiben und dann jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. Sie erhalten neun Produkte, die Sie dann noch zusammenfassen können. 
• Würde sich in diesem Fall nicht auch eine Formel lohnen, mit der man das alles rasch erledigen kann? Natürlich kann man sich alles Mögliche merken, aber lohnt es sich auch? Binome mit 3 Variablen kommen nicht sehr häufig vor - im Gegensatz zu den binomischen Formeln, die Ihnen auch in der Oberstufenmathematik wieder begegnen werden. Und zudem müssten Sie sich doch eine recht komplizierte Formel merken. 
• Aber mit einem Trick können Sie das Binom mit 3 Variablen auf Ihre bereits bekannten binomischen Formeln zurückführen. Teilen Sie die Aufgabe so ein: (a + b + c)² = [(a +b) + c]² . Nun "behandeln" Sie die eckige Klammer wie ein normales Binom mit zwei Variablen und erhalten (doch recht flott): (a + b)² + 2_*(a+b)_*c + c² als "Formel" für drei Variablen. Beachten müssen Sie hier eigentlich nur noch die Vorzeichen der Variablen, denn a, b oder c könnten ja auch negativ sein.