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Nullstellen berechnen durch Ausklammern - so wird's gemacht

Nullstellen berechnen durch Ausklammern - so wird's gemacht1:10
Video von Benjamin Elting1:10

Bei einigen Polynomen lassen sich die Nullstellen durch Ausklammern relativ einfach berechnen. Hier wird gezeigt, wann dies möglich ist (und wie es gemacht wird).

Was Sie benötigen:

  • Zeit
  • sowie Grundlagen "Funktionen"

Nullstellen berechnen - was müssen Sie da tun?

  • Wenn es um den Begriff "Nullstellen" geht, handelt es sich immer um eine Berechnung, die mit Funktionen zu tun hat.
  • Die Nullstellen einer Funktion f(x) sind genau die Stellen auf der x-Achse, an denen die Funktion diese schneidet. Dort ist der Funktionswert, also der y-Wert null.
  • Bedingung für eine Nullstelle ist also immer f(x) = 0.
  • Abhängig von der Funktionsgleichung f(x) ergeben sich aus dieser Bedingung unterschiedliche Rechenschritte, mit denen Sie die x-Werte berechnen müssen.
  • Im einfachsten Fall müssen Sie (mit bekannten Formeln und Regeln) eine Gleichung nach x auflösen. Bei quadratischen Funktionen (Parabeln) können Sie beispielsweise die pq-Formel anwenden.

Nullstellen bei Polynomen - so funktioniert Ausklammern

Probleme beim Berechnen von Nullstellen treten häufig dann auf, wenn man als Funktion ein Polynom hat, also eine ganzrationale Funktion, deren Grad größer als 2 ist. Solch eine Funktion ist beispielsweise f(x) = x³ + 2x² - 1, die dritten Grades ist und mit den üblichen Methoden nicht zu knacken ist.

  • Eine mögliche Methode, um auch hier Nullstellen zu berechnen, ist das Ausklammern, wodurch sich der Grad des Polynoms verkleinert.
  • Allerdings müssen diese Polynome eine sehr spezielle Bedingung erfüllen: Der Term darf keine Konstante enthalten - oder anders formuliert: Alle Bestandteile des Funktionsterms müssen mindestens ein "x" enthalten.
  • So lässt sich das o.g. Beispiel f(x) = x³ + 2x² - 1 nicht durch Ausklammern lösen, wohl aber die Funktion f(x) = x³ + 2x².
  • In diesem Fall gehen Sie so vor, dass Sie aus dem Funktionsterm eine möglichst hohe Potenz von x ausklammern. Dadurch erniedrigt sich die Potenz von x in der Klammer, was häufig leichter zu berechnen ist.
  • Wenn Sie bei der Funktion f(x) = x³ + 2x² die Nullstellen berechnen sollen, so gilt zunächst x³ + 2x² = 0, die Bedingung.
  • Nun klammern Sie x² (die höchste mögliche Potenz) aus und erhalten: x² (x + 2) = 0.
  • Hierbei handelt es sich um ein Produkt. Dieses Produkt kann nur null werden, wenn entweder der erste Faktor (x²) null wird oder der zweite Faktor (x + 2) null wird.
  • Im ersten Fall erhalten Sie als Nullstelle x1 = 0 (x² = 0 folgt auch x = 0).
  • Im zweiten Fall erhalten Sie als Nullstelle x2 = -2 (berechnet aus x + 2 = 0). 

Fazit: In manchen Fällen lassen sich die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion berechnen, indem man eine Potenz von x ausklammert und dann die beiden Funktionsteile, die einen niedrigeren Grad haben, gesondert behandelt.

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