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Ausklammern - eine Erklärung

Das Ausklammern ist eine mathematische Operation, die für viele Rechenaufgaben benötigt wird - beispielsweise damit eine Aufgabe sich einfacher lösen lässt. Gute Algebra-Kenntnisse sind neben Erfahrung dafür erforderlich.

Wir klammern aus!
Wir klammern aus! © uschi dreiucker / Pixelio

Was Sie benötigen:

  • Bleistift und Papier
  • Rechnen mit Termen
  • und natürlich Zeit und Geduld

Ausklammern - eine einfache Erklärung

  1. Viele Aufgaben aus unterschiedlichsten Gebieten der Mathematik - egal ob Algebra, Analysis oder Wahrscheinlichkeitsrechnung - lassen sich stark vereinfachen, wenn man wichtige Faktoren aus komplizierten Ausdrücken ausklammert. Hierfür folgen Sie der Erklärung Schritt für Schritt.
  2. Wenn Sie einen mehr oder weniger langen und komplizierten Term, also eine Kombination aus Buchstaben und Zahlen, vorliegen haben, müssen Sie sich zunächst die einzelnen Bestandteile dieses Terms ansehen.
  3. Prüfen Sie zunächst bei den Zahlen, ob es einen gemeinsamen Teiler gibt, den Sie ausklammern können.
  4. Dann prüfen Sie die Buchstaben, um herauszufinden, ob es in den einzelnen Termteilen Gemeinsamkeiten gibt.
  5. Setzen Sie dann den Faktor, der aus der gefundenen Zahl und den Buchstaben besteht, vor eine sich öffnende Klammer.
  6. Kubische Gleichungen, in denen die Unbekannte "x" als Kubikzahl vorkommt, sind nicht …

  7. In die Klammer schreiben Sie nun die Reste des Terms. Diese ergeben sich, wenn Sie jeden einzelnen Termbestandteil durch den Ausdruck vor der Klammer teilen (!).
  8. Wenn Sie alle Termbestandteile abgearbeitet haben, schließen Sie die Klammer. 
  9. Klammern Sie immer so viel wie möglich aus, damit der verbleibende Rest in der Klammer möglichst einfach wird. 

Ausklammern - ein durchgerechnetes Beispiel

  1. Sie sollen in dem Term 2x²y - 4xy + 12abx soviel wie möglich ausklammern. Auch hier folgen Sie der Erklärung von oben.
  2. Zunächst betrachten Sie die Zahlen (2, -4, 12) in den einzelnen Bestandteilen des Terms. Der größte gemeinsame Teiler ist hier 2, das ausgeklammert werden kann.
  3. Nun betrachten Sie die Buchstabenkombinationen im Term. Schnell erkennen Sie, dass nur der Buchstabe "x" in allen drei Termteilen vorkommt und somit ausgeklammert werden kann.
  4. Nach diesen Überlegungen müssen Sie also 2x vor die Klammer schreiben:
  5. 2x²y - 4xy + 12abx = 2x (xy - 2y + 6ab).
  6. Die Termteile in der Klammer ergeben sich schrittweise durch Teilen. Dabei teilen Sie die Zahlen durch 2 und Buchstabenkombination durch x in diesem Fall:
  7. 2x²y : 2x = xy
  8. -4xy : 2x = -2y
  9. 12abx : 2x = 6ab

Spezial: Nullstellen berechnen durch Ausklammern

  1. Oft lassen sich die Nullstellen von Polynomen bzw. ganzrationalen Funktionen berechnen, wenn es möglich ist, die Variable x (oder eine Potenz davon) auszuklammern.
  2. Dies soll Ihnen das Beispiel f(x) = 8 x5 - 3 x2 verdeutlichen. 
  3. Zum Berechnen der Nullstellen setzen Sie 8 x5 - 3 x2= 0 und klammern den Faktor x2 aus. 
  4. Sie erhalten: x2 ( 8 x3 - 3) = 0. Diese Gleichung können Sie leicht lösen, denn es muss hier gelten x2 = 0, also x1 = 0 als erste Nullstelle.
  5. Weiter gilt: 8x3 - 3 = 0, und daraus berechnen Sie x2 = 3. Wurzel (8/3) = 1,39 (gerundet) als zweite Nullstelle des Polynoms.
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