2 durch x ableiten - so funktioniert's bei gebrochen-rationalen Funktionen

2 durch x ableiten - so gehen Sie vor

1. Die Funktion f(x) = 2/x wird als gebrochen-rational bezeichnet, da die Variable x im Nenner des Funktionsterms steht.
2. Diese Funktion können Sie leicht ableiten, wenn Sie die Regel zum Bilden der Ableitung für ganzrationale Funktionen der Art f(x) = xⁿ anwenden.
3. Die Ableitung hierfür lautet: f'(x) = n _* x^n-1 (Formelsammlung)
4. Diese beliebte und bekannte Formel können Sie nicht nur auf natürliche Exponenten n anwenden, sondern auch auf ganzzahlige und sogar rationale (Brüche) oder reelle Hochzahlen anwenden.
5. Ziel ist es also, die Funktion f(x) = 2/x auf solch eine Hochzahl zu bringen.


Stammfunktion, wenn x im Nenner steht - Hinweise

Sie suchen die Stammfunktion einer Funktion, bei der die Unbekannte x im Nenner steht? Dieses …

6. Dies gelingt Ihnen leicht, wenn Sie den Bestandteil 1/x als negative Hochzahl schreiben: 1/x = x^-1(Erinnerung: 1/a^m = a^-m, ein wichtiges Potenzgesetz).
7. Nun wenden Sie die Ableitungsformel an und es gilt n =  -1; der Faktor "2" bleibt unbehelligt (wie immer bei Ableitungen) vor der ganzen Sache stehen.
8. Sie rechnen: f'(x) = 2 _^* (-1) _* x^-1-1 = -2 ^* x_^-2 = -2/x²
9. Der Übersichtlichkeit halber sollte man die Potenz x^_-2 wieder in die Form 1/x² bringen.
10. Die Ableitung der Funktion "2 durch x" ist als "-2 durch x²". 

Gebrochen-rationale Funktionen - die Regel richtig anwenden

1. Alle Funktionen der Form f(x) = a/xⁿ lassen sich in der beschriebenen Form ableiten. Dabei kann n eine natürliche Zahl, aber auch ein Bruch sein.
2. Allerdings können Sie diese einfache Ableitungsregel nicht (!) anwenden, wenn im Zähler und/oder Nenner der gebrochen-rationalen Funktion ein komplizierterer Ausdruck (und nicht nur eine Potenz) steht.
3. Als Beispiel sei die Funktion f(x) = (2x-1)/(x³+2) genannt. Für das Ableiten dieser gebrochen-rationalen Funktion benötigen Sie die Quotientenregel (Formelsammlung).
4. Einige zunächst kompliziert anmutende Funktionen lassen sich dennoch "leicht" mit etwas Erfahrung in der Potenzrechnung ableiten.
5. Wählen Sie als Beispiel f(x) = Wurzel(x)/x³. 
6. Es gilt Wurzel(x) = x¹/2; also Wurzel (x)/x³ = x¹/2 _* x^-3 = x^-5/2. Diese vereinfachte Funktion können Sie wieder mit der einfachen Ableitungsregel ableiten. Setzen Sie n = -5/2.