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2 durch x ableiten - so funktioniert's bei gebrochen-rationalen Funktionen

Wenn Sie die Funktion "2 durch x" ableiten wollen, können Sie dies mit ein bisschen Geschick und Regeln der Potenzrechnung mit der ganz normalen Ableitungsregel erledigen.

Manchmal helfen Rechenkünste beim Ableiten.
Manchmal helfen Rechenkünste beim Ableiten. © VGMeril / Pixelio

Was Sie benötigen:

  • Bleistift und Papier
  • Ableitungsregel für ganz-rationale Funktion
  • etwas Zeit und Geduld

2 durch x ableiten - so gehen Sie vor

  1. Die Funktion f(x) = 2/x wird als gebrochen-rational bezeichnet, da die Variable x im Nenner des Funktionsterms steht.
  2. Diese Funktion können Sie leicht ableiten, wenn Sie die Regel zum Bilden der Ableitung für ganzrationale Funktionen der Art f(x) = xn anwenden.
  3. Die Ableitung hierfür lautet: f'(x) = n * xn-1 (Formelsammlung)
  4. Diese beliebte und bekannte Formel können Sie nicht nur auf natürliche Exponenten n anwenden, sondern auch auf ganzzahlige und sogar rationale (Brüche) oder reelle Hochzahlen anwenden.
  5. Ziel ist es also, die Funktion f(x) = 2/x auf solch eine Hochzahl zu bringen.
  6. Dies gelingt Ihnen leicht, wenn Sie den Bestandteil 1/x als negative Hochzahl schreiben: 1/x = x-1(Erinnerung: 1/am = a-m, ein wichtiges Potenzgesetz).
  7. Nun wenden Sie die Ableitungsformel an und es gilt n =  -1; der Faktor "2" bleibt unbehelligt (wie immer bei Ableitungen) vor der ganzen Sache stehen.
  8. Sie rechnen: f'(x) = 2 * (-1) * x-1-1 = -2 * x-2 = -2/x2
  9. Der Übersichtlichkeit halber sollte man die Potenz x-2 wieder in die Form 1/x2 bringen.
  10. Die Ableitung der Funktion "2 durch x" ist als "-2 durch x2". 

Gebrochen-rationale Funktionen - die Regel richtig anwenden

  1. Alle Funktionen der Form f(x) = a/xn lassen sich in der beschriebenen Form ableiten. Dabei kann n eine natürliche Zahl, aber auch ein Bruch sein.
  2. Allerdings können Sie diese einfache Ableitungsregel nicht (!) anwenden, wenn im Zähler und/oder Nenner der gebrochen-rationalen Funktion ein komplizierterer Ausdruck (und nicht nur eine Potenz) steht.
  3. Als Beispiel sei die Funktion f(x) = (2x-1)/(x3+2) genannt. Für das Ableiten dieser gebrochen-rationalen Funktion benötigen Sie die Quotientenregel (Formelsammlung).
  4. Einige zunächst kompliziert anmutende Funktionen lassen sich dennoch "leicht" mit etwas Erfahrung in der Potenzrechnung ableiten.
  5. Wählen Sie als Beispiel f(x) = Wurzel(x)/x3
  6. Es gilt Wurzel(x) = x1/2; also Wurzel (x)/x3 = x1/2 * x-3 = x-5/2. Diese vereinfachte Funktion können Sie wieder mit der einfachen Ableitungsregel ableiten. Setzen Sie n = -5/2.
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