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Größte natürliche Zahl - von der Matheexpertin erklärt

Größte natürliche Zahl - von der Matheexpertin erklärt2:23
Video von Galina Schlundt2:23

Gibt es eigentlich eine größte natürliche Zahl? Diese Frage ist so alt wie die Mathematik selbst und kann mit einem sehr leichten Beweis beantwortet werden.

Was Sie benötigen:

  • eigentlich nur Zeit
  • und Interesse

Natürliche Zahlen - das sollten Sie wissen

  • Die natürlichen Zahlen sind die ältesten bekannten Zahlen, denn sie ergeben sich nicht nur zwanglos aus Alltagsproblemen, sondern schon durch Abzählen der Finger an den Händen. 
  • Der Zahlenbereich der natürlichen Zahlen umfasst die Menge N = [1, 2, 3, ...]. Streng mathematisch zählt die Null nicht zu den natürlichen Zahlen.
  • Allerdings haben die Mathematiker diesen Zahlenbereich durch einige grundlegenden Eigenschaften beschrieben, genauer: durch Axiome definiert (sog. Peano-Axiome von Giuseppe Peano aus dem 19. Jh.). In moderner Form lauten diese beiden Axiome: Die Zahl "1" ist eine natürliche Zahl und jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n' = n + 1.

Größte natürliche Zahl - gibt es die?

Aus den beiden genannten Axiomen ergeben sich einige Konsequenzen für den Bereich der natürlichen Zahlen.

  • Als Erstes gibt es eine kleinste natürliche Zahl. Diese Zahl ist "1", wenn man die Null nicht zu den natürlichen Zahlen zählt. Andernfalls ist die kleinste natürliche Zahl die "0".
  • Auf die bekannte (Kinder-)Frage, ob die Zahlen eigentlich irgendwo einmal aufhören, sprich, ob es eine größte natürliche Zahl gibt, können die beiden Axiome ebenfalls eine klare Antwort geben: Da jede natürliche Zahl (auch die kleinste) stets einen Nachfolger hat, der sich durch Addition von "1" ergibt, kann die Zahlenreihe eigentlich nicht abbrechen.
  • Hätte man nämlich - falls es das gäbe - eine größte natürliche Zahl gefunden, dann bräuchte man zu dieser ja nur den Nachfolger bilden, sprich "1" addieren. Die gewonnene Zahl ist größer als die (angenommene) größte Zahl. Und: Es ist wieder eine natürliche Zahl laut dem zweiten Axiom.
  • Dementsprechend kann es sich bei der gefundenen Zahl nicht um die größte natürliche Zahl gehandelt haben. Diese Art Beweis nennen Mathematik einen Widerspruchsbeweis. Es wird ein Sachverhalt angenommen, der dann zu einem Widerspruch führt. Also kann der Sachverhalt nicht richtig sein.

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