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Eine Partialsumme einer Reihe berechnen Sie so

Eine Partialsumme einer Reihe berechnen Sie so3:11
Video von Galina Schlundt3:11

Partialsumme und Reihe sind Themen aus der Mathematik, die vielfach Furcht auslösen. Dabei lässt sich gerade dieses Problem leicht lösen - gewusst wie!

Was Sie benötigen:

  • Bleistift und Papier
  • evtl. Taschenrechner (für die Summe)
  • etwas Zeit und Geduld

Was ist eine Reihe?

  • Reihen entstehen aus Folgen.
  • In der Mathematik versteht man unter einer Folge einfach eine Aneinanderreihung von Zahlen. Diese Zahlen können willkürlich sein oder sie werden mit einem Bildungsgesetz (einer Formel also) ausgerechnet.
  • Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3... sind beispielsweise eine Folge; aber auch -1, +1, -1, +1... kann eine Folge sein. Mit dem Bildungsgesetz 1/n können Sie die Folge 1, 1/2, 1/3... erzeugen, wenn Sie für n die natürlichen Zahlen einsetzen. 
  • Eine Reihe entsteht, wenn Sie die einzelnen Glieder einer Folge addieren, also Summen bilden.
  • Aus der Folge 1/n entsteht beispielsweise die (harmonische) Reihe 1 + 1/2 + 1/3 ....
  • Folgen und Reihen können endlich viele Glieder enthalten; im Allgemeinen jedoch - und für Mathematiker viel interessanter - sind die unendlichen Folgen und Reihen.

Partialsumme berechnen - so gehen Sie vor

  1. Schon sehr früh haben sich Mathematiker Gedanken darüber gemacht, ob unendliche Folgen und Reihen einem Grenzwert zustreben, grob gesagt immer dichter an eine bestimmte Zahl herankommen.
  2. So strebt die Folge 1/n, die oben als Beispiel diente, gegen die Zahl Null, erreicht sie jedoch nicht.
  3. Genauso kann man sich die Frage stellen, ob eine Reihe, die ja eine unendliche Summe ist, einem Zahlenwert zustrebt.
  4. Für die Reihe der natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 +.... können Sie diese Frage schnell beantworten; diese Summe wird immer größer, je mehr Reihenglieder Sie beim Aufsummieren berücksichtigen.
  5. Für viele andere Reihen können Sie diese Frage nicht so leicht beantworten, beispielsweise für die ebenfalls oben vorgestellte Reihe 1 + 1/2 + 1/3 .... (die tatsächlich keine endliche Summe hat). 
  6. Hier helfen den Mathematikern Partialsummen, also Teilsummen, weiter. Darunter versteht man die Summe einer Reihe bis zu einem bestimmten Glied.
  7. Beispielsweise ist S2 die Summe aus den ersten beiden Reihengliedern, im Fall der harmonischen Reihe also 1 + 1/2 = 3/2. 
  8. Um Partialsummen berechnen zu können, müssen Sie also erstens wissen, welche Partialsumme (die dritte, die fünfte oder gar die zehnte) Sie berechnen wollen und wie die einzelnen Glieder der Reihe aussehen. Dann genügt einfaches Addieren.
  9. Für die Reihe 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4...., die übrigens Leibniz-Reihe heißt, berechnen Sie zum Beispiel S2 = 1 -1/2 = 1/2 und S4 = 7/12

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