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Kann das Produkt zweier irrationaler Zahlen rational sein? - Eine Erklärung

Diese Frage ist natürlich eine Spitzfindigkeit von Mathematikern (oder Lehrern). Mit etwas Wissen über rationale und irrationale Zahlen kann man das Problem des Produktes jedoch lösen.

Die Eulerzahl e ist irrational.
Die Eulerzahl e ist irrational.

Was Sie benötigen:

  • etwas Zeit und Geduld
  • und Interesse für mathematische Spitzfindigkeiten

Rationale und irrationale Zahlen - das sollten Sie wissen

Hand aufs Herz: Was rationale und irrationale Zahlen sind, ist den meisten in der Schulzeit "irgendwie" verborgen geblieben - aber eigentlich ganz einfach.

  • Mathematiker unterscheiden diverse Zahlenbereiche. Am einfachsten sind die natürlichen Zahlen, eben so, wie man zählt.
  • Der nächstgrößere Zahlenbereich sind die ganzen Zahlen. Zu den natürlichen Zahlen kommen hier noch die Null sowie die negativen Zahlen hinzu. Schließlich will man auch Schulden oder Minusgrade bei der Temperatur darstellen.
  • Die rationalen Zahlen sind wiederum der nächstgrößere Zahlenbereich; rational heißt übrigens "vernünftig". Hinzu kommen nämlich alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen oder anders formuliert: alle endlichen und periodischen Dezimalbrüche. Hierher gehören beispielsweise 1/3, aber auch -2,5. Brüche ergaben sich historisch, wenn das Aufteilen von Gütern eben nicht aufging - schon die Ägypter kannten derartige Brüche. 
  • Zu den irrationalen (also den unvernünftigen) Zahlen gehören alle nichtendlichen Dezimalbrüche. Bekannte Beispiele für solche Zahlen sind Wurzel(2) (ein Beweis, den Milliarden von Schülern über sich ergehen lassen mussten), die Kreiszahl Pi und die Eulersche Zahl e. Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch darstellen. 
  • Rationale Zahlen und irrationale Zahlen zusammen bilden übrigens den Zahlenbereich der reellen Zahlen, der salopp oft als "alle Zahlen" bezeichnet wird.

Das Produkt irrationaler Zahlen - alles ist möglich

Was aber passiert, wenn man mit irrationalen Zahlen rechnet? Diese Frage stellen sich Mathematiker (und zuweilen Lehrer ihren Schülern).

  • Addiert bzw. subtrahiert man zwei irrationale Zahlen, so ist das Ergebnis wieder irrational (oder null bei gleichen Zahlen).
  • Was jedoch passiert beim Multiplizieren von zwei unendlich langen Dezimalzahlen? Zu welchem Zahlenbereich gehört das Produkt? Das Problem lässt sich anhand von Beispielen angehen. Dabei benötigen Sie nicht viel mehr als die oben genannten.
  • Multipliziert man die Kreiszahl Pi mit der Eulerschen Zahl e, die beide unendlich viele Stellen hinter dem Komma haben, so wird das Ergebnis wieder eine irrationale Zahl sein.
  • Multipliziert man allerdings Wurzel(2) mit Wurzel(2), ist das Ergebnis die Zahl "2", nicht nur eine rationale Zahl, sondern sogar eine natürliche.
  • Und mehr noch: Wurzel(2) x Wurzel(18) = Wurzel(36) = 6.

Das Produkt aus zwei irrationalen Zahlen kann also durchaus eine rationale Zahl sein, ist es jedoch im Allgemeinen nicht.

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