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Unendlich durch Unendlich teilen - so lösen Sie das Problem

Unendlich durch Unendlich teilen - so lösen Sie das Problem2:43
Video von Galina Schlundt2:43

Fünf geteilt durch fünf ist eins. Also müsste doch Unendlich geteilt durch Unendlich auch eins sein. Oder etwa nicht? Um das Problem zu lösen, gilt es, die Rechnung aus verschiedenen Perspektiven zu betrachten.

Unendlich ist keine reelle Zahl

In der Standardanalysis ist die Rechnung Unendlich durch Unendlich nicht eins, sondern undefiniert. Der Grund dafür ist bei näherer Betrachtung leicht nachzuvollziehen.

  • Beachten Sie zunächst, dass sich Unendlich überhaupt nicht als Zahlenwert erfassen lässt, da dieser dann ja quasi ein Ende der Unendlichkeit darstellen würde.
  • Der Begriff Unendlich beschreibt in der Mathematik damit nur Zahlenfolgen, die gegen Unendlich gehen. Das bedeutet wiederum, dass Unendlich nicht zu den reellen Zahlen zu zählen ist.
  • Da die Gleichung x / x = 1 nur für reelle Zahlen gilt, lassen sich die entsprechenden Rechenregeln daher gar nicht auf den Grenzwert Unendlich anwenden.

So wird das Problem der Unendlichkeit verständlich

Da Mathematik in der Regel sehr abstrakt ist, fällt es vielen nicht leicht, sich die eigentlich logischen Zusammenhänge wirklich vorzustellen. In diesem Fall kann es helfen, mit geeigneten Bildern zu arbeiten.

  • Um die oben angeführten Erklärungen noch klarer zu verstehen, können Sie sich vorstellen, dass Sie unendlich viele Äpfel auf unendlich viele Personen aufteilen müssten.
  • Da Sie für jede einzelne der unendlich vielen Personen unendlich viele Äpfel zur Verfügung haben, ist das Ergebnis vollkommen beliebig bzw. mathematisch überhaupt nicht berechenbar.
  • Die eigentliche Lösung des Problems lautet insofern schlichtweg, dass die Rechnung Unendlich durch Unendlich undefiniert ist.

Der einzige Ausweg aus diesem Dilemma besteht darin, die Pfade der Standardanalysis zu verlassen und Unendlich als hyperreelle Zahl eindeutig zu definieren. In diesem Fall ist Unendlich durch Unendlich tatsächlich Eins. Was damit gewonnen ist, steht allerdings auf einem anderen Blatt.

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