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Ableitungen zeichnen - so gehen Sie vor

Eine typische Aufgabe aus dem Mathematikunterricht: Sie sollen zu einer vorgegebenen Funktion die Ableitungen zeichnen, und zwar ohne diese vorher zu berechnen. Mit diesen Tipps gelingt es bestimmt.

Graph der Funktion mit ihren (skizzierten) Ableitungen
Graph der Funktion mit ihren (skizzierten) Ableitungen

Was Sie benötigen:

  • Grundwissen Ableitungen

Fertigen Sie den Graphen an

Wenn Sie bei der Aufgabenstellung noch keinen Graphen der Funktion vorliegen haben, sondern lediglich die Funktionsgleichung f(x), sollten Sie den dazugehörigen Graphen unbedingt zeichnen:

  • Im einfachsten Fall erstellen Sie eine Wertetabelle für die Funktion. Wählen Sie zunächst die Werte für die x-Variable zwischen -3 und +3. Die dazugehörigen y-Werte berechnen Sie mithilfe der Funktionsgleichung f(x), indem Sie die x-Werte Ihrer Wertetabelle einsetzen. Fertigen Sie dann ein zu den gewonnenen Werten passendes Koordinatensystem an und zeichnen Sie die Punkte aus der Wertetabelle ein. Verbinden Sie die Punkte anschließend zum gewünschten Graphen. Eventuell müssen Sie den Graphen noch durch Berechnen weiterer Punkte ergänzen.
  • Auch eine Kurvendiskussion ist möglich. Meist verfügen Sie jedoch zu diesem Zeitpunkt noch nicht über diese Möglichkeit.

Zeichnen Sie die Ableitungen ein

Die eigentliche Aufgabe ist es nun, ohne weitere Berechnungen die Ableitungen (meist die erste Ableitung f'(x) sowie die zweite Ableitung f''(x)) zu dieser Funktion f(x) in das Koordinatensystem zu skizzieren. Es geht also um den grundsätzlichen Verlauf, nicht um Werte. Als Beispiel für die Vorgehensweise nutzen Sie bitte den beigefügten Graphen einer gegebenen Funktion f(x), die als blaue gestrichelte Linie in ein Koordinatensystem eingefügt wurde.

  1. Die Ausgangsfunktion f(x) hat drei Extrema (E1 Maximum, E2 Minimum und E3 Maximum) sowie zwei dazwischenliegende Wendepunkte W1 und W2. Die beiden Nullstellen N1 und N2 sind für die Ableitungsskizze nicht wesentlich.
  2. Die erste Ableitung f'(x) hat an den Extrema Nullstellen, die Sie sofort einzeichnen können.
  3. Im linken Teil von f(x) vor E1 steigt die Funktion, dort muss f'(x) positiv sein, also oberhalb der x-Achse liegen.
  4. Im rechten Teil von f(x) nach E2 fällt die Funktion, dort muss f'(x) negativ sein, also unterhalb der x-Achse liegen. Beide Teile können Sie ausgehend von den Nullstellen skizzieren.
  5. Am Wendepunkt W1 liegt ein Minimum vor (Funktion fällt), am Wendepunkt W2 ein Maximum (Funktion steigt dort). Beide Extrema fügen Sie in f'(x) ein. Die Lage wurde hier - da ohne weitere Berechnung - willkürlich gewählt.
  6. Nun verbinden Sie die drei Nullstellen der Ableitung mit Minimum und Maximum und Sie haben einen (ungefähren) Verlauf der Ableitung skizziert.
  7. Ausgehend von f'(x) skizzieren Sie nun die zweite Ableitung f''(x) . Die Eigenschaften der Funktion f(x) können der Kontrolle dienen. An den beiden Extrema von f'(x) hat f''(x) Nullstellen, die Sie sofort einzeichnen können. Kontrolle sind die Wendepunkte W1 und W2 der Ausgangsfunktion, deren zweite Ableitung hier null ist.
  8. Der Funktionsverlauf von f'(x) zeigt, dass die Funktion (mit wachsendem x) zunächst fällt (f''(x) negativ), dann steigt (f''(x) positiv mit Maximum am Wendepunkt) und schließlich wieder fällt (f''8x) wieder negativ). Als Graph ergibt sich eine Parabel, die nach unten geöffnet ist.
  9. Als Gesamtbild erhalten Sie die Funktion f(x) mit dem skizzierten Verlauf ihrer Ableitungen f'(x) und f''(x).
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