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Kleinste Primzahl - die Matheexpertin erklärt

Natürlich wird es eine kleinste Primzahl geben. Und diese hat eine verwunderliche Eigenschaft: Sie ist nämlich eine gerade Zahl. Aber wie steht es mit der größten Primzahl?

Primzahlentabelle
Primzahlentabelle

Die kleinste Primzahl ist die "Zwei"

  • Primzahlen sind natürliche Zahlen, die sich nur durch sich selbst und die Eins teilen lassen. Mit anderen Worten: Primzahlen haben nur zwei Teiler.
  • Demgemäß könnte die kleinste Primzahl natürlich die Zahl "1" sein; dies wurde jedoch von den Mathematikern ausgeschlossen. Die Zahl "1" hat ja nur einen Teiler.
  • Als nächster Kandidat für die kleinste Primzahl fällt den meisten natürlich die Zahl "3" ein, ist dies doch die nächste ungerade Zahl.
  • Allerdings vergessen viele, dass die Zahl "2" auch ein Kandidat für Primzahlen ist. Zwar handelt es sich bei der Zwei um eine gerade Zahl, jedoch ist diese nur durch sich selbst (also durch 2) und durch Eins teilbar.
  • Die kleinste Primzahl ist also nicht - wie erwartet - die Zahl "3", sondern die Zahl "2". Zwei ist außerdem die einzige (!) gerade Primzahl, alle anderen sind ungerade. Denn: Gerade Zahlen, die größer sind als 2, haben stets die Zwei als Teiler.

Gibt es eine größte Primzahl?

Wenn es eine kleinste Primzahl gibt, warum nicht auch eine größte? Mit dieser Frage beschäftigte sich schon Euklid im 4. Jh. vor Christus.

  • Er überlegte sich Folgendes: Angenommen, es gäbe eine größte Primzahl (und natürlich weitere Primzahlen, die kleiner sind). Dann könnte man ja alle diese bekannten Primzahlen miteinander multiplizieren, auch wenn das eine wirklich große Zahl ergeben sollte.
  • Zu dieser Zahl addiert man dann 1 hinzu.
  • Diese neue Zahl ist durch keine der bekannten Primzahlen teilbar, sie muss also eine neue Primzahl sein, die natürlich größer ist als die größte Primzahl, die man schon kennt.
  • Dementsprechend kann man immer aus einer bekannten Folge von Primzahlen eine größere "zusammenbasteln", es kann also gar keine größte Primzahl geben.
  • Diese Überlegungen Euklids sind als Widerspruchsbeweis und Satz des Euklid bekannt. 
  • Der Beweis ermöglicht es, aus kleinen, bekannten Primzahlen neue zu erzeugen. Kennt man beispielsweise 2 und 3 als Primzahlen, dann ist 2 x 3 + 1 = 7 wieder eine Primzahl. Und: 2 x 3 x 7 + 1 = 43 ist ebenfalls eine Primzahl. Allerdings erreicht man mit diesem Verfahren natürlich nicht alle Primzahlen, das Produkt ist schnell sehr groß.
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