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Was ist teilerfremd? - Der mathematische Begriff einfach erklärt

"Teilerfremd" ist ein Begriff, der aus der Schulmathematik kommt und nicht nur eine Rolle beim Suchen des Hauptnenners spielt, sondern auch in der Zahlentheorie vorkommt.

Zahlen haben ungeahnte Eigenschaften.
Zahlen haben ungeahnte Eigenschaften.

Teilerfremd - eine Antwort aus der Zahlentheorie

  • Die Menge der natürlichen Zahlen (0,1,2,3...; manchmal auch ohne die Null) steckt voller Geheimnisse. Zunächst einmal gibt es gerade und ungerade Zahlen.
  • Dann gibt es Primzahlen, also Zahlen, die außer der "1" und sich selbst keine weiteren Teiler haben.
  • Und: Ein besonders interessantes Phänomen der natürlichen Zahlen ist, dass sich jede (!) dieser Zahlen als ein Produkt aus Primzahlen schreiben lässt.
  • Auch zwei (unterschiedliche) Zahlen können interessante Eigenschaften haben. So kann die kleinere der beiden Zahlen beispielsweise als Teiler in der größeren enthalten sein (Beispiel: 3 in 12). Es kann jedoch eine (oder vielleicht sogar mehrere) weitere Zahlen geben, die in beiden Zahlen vorkommen( Beispiel: die beiden Zahlen 12 und 16 enthalten beide die "4").
  • Als "teilerfremd" bezeichnet man zwei (oder noch mehr) Zahlen, wenn es keine Zahl gibt, die in beiden Zahlen multiplikativ vorhanden ist. 
  • So sind die beiden Zahlen 9 und 44 teilerfremd. 9 und 42 jedoch nicht (gemeinsamer Teiler "3").

Wann sind Zahlen "teilerfremd"? - Tipps

  • Zwei oder mehrere gerade Zahlen können niemals teilerfremd sein, da sie immer die Zahl "2" als Teiler haben. 
  • Bei zwei Zahlen muss also immer mindestens eine der beiden Zahlen ungerade sein!
  • Zwei oder auch mehrere Primzahlen sind immer (!) teilerfremd.
  • Ist eine der Zahlen eine Primzahl, so kann die andere nur dann teilerfremd sein, wenn sie nicht Vielfaches der Zahl ist.
  • Eine einfache Methode, festzustellen, ob große Zahlen teilerfremd sind, ist es, diese in Primfaktoren zu zerlegen. So ergibt sich rasch, dass 6 und 51 nicht teilerfremd sind, denn 51 = 3 x 17.
  • Eine wichtige Anwendung der Teilerfremdheit gibt es übrigens noch in der Bruchrechnung: Sucht man den Hauptnenner und sind die Einzelnenner teilerfremd, so ist der Hauptnenner stets das Produkt aus den Einzelnennern. Dies gilt insbesondere bei Primzahlen.
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