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Wie faktorisiert man? - So zerlegen Sie eine Zahl in Primzahlen

Schüler bekommen oft graue Haare, wenn es an die Zerlegung von Zahlen in Primzahlen geht, die Frage, wie man faktorisiert, zehrt an den Nerven. Dabei ist es einfach.

Schreiben Sie sorgfältig untereinander.
Schreiben Sie sorgfältig untereinander.

Grundsätzliches, wie man faktorisiert

  • Jede Zahl, die keine Primzahl ist, kann als Produkt dargestellt werden: 6 ist 2 x 3, 64 ist 8 x 8 und so weiter. So faktorisiert man grundsätzlich, indem man eine Zahl als Produkt darstellt.
  • Primzahlen sind laut  Definition Zahlen, die nur durch 1 und die Zahl selbst geteilt werden können. Bevor Sie jetzt testen, ob 23 eine Primzahl ist, indem Sie diese durch 1 und durch 23  teilen, jede Zahl ist durch 1 und sich selbst teilbar. Lassen Sie die genaue Definition der Primzahl weg und nehmen Sie hilfsweise die umgangssprachliche Vorstellung, eine Zahl, die Sie durch nichts ohne Rest teilen können.
  • Sie müssen entweder die Primzahlen zumindest von 1 bis 100 auswendig wissen oder eine Primzahlen-Tabelle zu Hand haben, um zu entscheiden, ob eine Zahl eine Primzahl ist, denn wenn faktorisiert wird, haben Sie keine Zeit, alle Zahlen zu testen.

Sicherer Weg zum Faktorisieren

Am Beispiel der Zahl 2520 können Sie sehen, wie man faktorisiert.

  1. Teilen Sie die Zahl 2520 durch die kleinste bekannte Primzahl (natürlich nicht die 1). Sie erhalten 1260. Also ist 2520 = 2 x 1260.
  2. Teilen Sie 1260 wieder durch 2, Sie bekommen 630, also ist 2520 = 2 x 2 x 630.
  3. Teilen Sie 630 durch 2 und Sie stellen fest, dass gilt: 2560 = 2 x 2 x 2 x 315.
  4. Da sich 315 nicht ohne Rest durch 2 teilen lässt, teilen Sie nun durch die nächste Primzahl die 3. 315 : 3 = 105, also ist 2560 = 2 x 2 x 2 x 3 x 105.
  5. Nun wird 105 wieder durch 3 geteilt und Sie erhalten 2560 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 35.
  6. Da 35 nicht durch 3 teilbar ist, müssen Sie nun durch 5 teilen und erhalten 2520 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7. So haben Sie in Primfaktoren faktorisiert, weil alle Zahlen im Produkt Primzahlen sind. Das können Sie auch mit Exponenten schreiben. Demnach ist 2520 = 2³ x 3² x 5 x 7.

Teilbarkeitsregeln helfen, wenn man faktorisiert

Wie Sie am Beispiel gesehen haben, müssen Sie dividieren. Dabei ist es hilfreich, wenn Sie ein paar Teilbarkeitsregeln kennen. So ist es einfacher, zu entscheiden, ob eine Zahl durch bestimmte Primfaktoren geteilt werden kann:

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist, also 2, 4, 6, 8, 0 ist.
  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 5 oder ein 0 ist.
  • Auch wenn 4 und 10 keine Primzahlen sind. Die Kenntnis, dass eine Zahl durch 4 teilbar ist, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind und dass eine Zahl durch 10 teilbar ist, wenn eine 0 am Ende steht, hilft Ihnen immer weiter.

Kniffe beim Faktorisieren

Sie müssen nicht direkt in Primzahlen zerlegen, man faktorisiert auch, wenn man erst in beliebige Faktoren zerlegt und diese dann weiter zerlegt. Wieder mit dem Beispiel 2560:

  1. 2560 hat eine Null am Ende, also ist 2520 = 10 x 252.
  2. 256 ist eine grade Zahl, also durch 2 teilbar 252 = 2 x 126, also ist 2520 = 10 x 2 x 126.
  3. Das 126 durch 2 teilbar ist und 10 2 x 5 ist, gilt folglich: 2520 = 2 x 5 x 2 x 2  x 63. 
  4. 63 ist durch 3 teilbar, was 3 x 21 ergibt und 21 ist 3 x 7. So wird aus 2520 = 10 x 252 = 2 x 5 x 2 x 16 = 2 x 5 x 2 x 2 x 63 = 2 x 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7.
  5. Sortieren Sie die Zahlen der Größe nach und Sie haben wieder 2520 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7 = 2³ x 3² x 5 x 7.

Die erste Methode ist sehr sicher und kann recht stur nach einem Schema gerechnet werden, dauert aber oft recht lange. Die zweite Methode setzt etwas Zahlengefühl voraus und eine gute Konzentration, damit Sie keine Faktoren vergessen. Man faktorisiert nach beiden Methoden korrekt.

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