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Quotientengleichheit den Nachhilfeschülern verständlich erklären - so gelingt's

Keine Angst vor Mathematik. Die Quotientengleichheit bei proportionalen Zuordnungen kann man leicht erklären. Es ist nur ein eingängiges Beispiel nötig.

Äpfel sind ein gutes Beispiel für den Dreisatz.
Äpfel sind ein gutes Beispiel für den Dreisatz.

Was Sie benötigen:

  • Papier
  • Stift
  • (Radierer)
  • evtl. Taschenrechner

So erklären Sie die Quotientengleichheit

  • Quotientengleichheit tritt bei den proportionalen Zuordnungen auf, ein Thema, das die Schüler meist im 7. Schuljahr mehr oder weniger in Anspruch nimmt. Früher nannte man diesen Themenbereich schlicht Dreisatz. 
  • Beim Dreisatz handelt es sich immer um zwei Größen, die miteinander in Beziehung stehen. Beispiele sind Preis und Gewicht einer gekauften Ware, der Wechselkurs zwischen Dollar und Euro oder der Verbrauch an Benzin und die gefahrenen Kilometer.
  • Vergrößert sich dabei die erste Größe (das Gewicht einer Ware wie zum Beispiel Äpfel), so vergrößert sich auch der Preis (je mehr man kauft, desto mehr muss man zahlen). Ganz speziell ergibt die doppelte oder dreifache Menge auch den doppelten oder dreifachen Preis (Sonderangebote mal beiseite gelassen).
  • Um die Quotientengleichheit beim Dreisatz zu erklären, ist ein besonders eingängiges Beispiel wichtig.
  • Vielleicht bleiben Sie einfach beim Verkauf von Waren, nehmen Sie ruhig die Äpfel und stellen Sie eine Tabelle auf mit drei Spalten, wobei die letzte Spalte zunächst leer bleibt. Links in die erste Spalte kommt das Gewicht der Äpfel hin (in kg), rechts in die zweite Spalte der zu zahlende Preis (in Euro). Beginnen Sie diese Tabelle mit 1 kg, 2 kg etc. Wählen Sie ruhig auch 1/2 kg oder 7 1/2 kg. Rechts wird der Preis berechnet. Dazu geben Sie den Preis für 1 kg vor (beispielsweise 2,50 Euro).
  • Anhand der Tabelle können Sie nur zwanglos zunächst das Prinzip "je mehr - desto mehr" und auch speziell "doppelte Menge - doppelter Preis" erklären.
  • Nun kommt die dritte Spalte dran. Berechnen Sie hier den Quotienten aus Preis und Gewicht, das heißt, teilen Sie für jede Zeile Ihrer Tabelle den errechneten Preis durch das Gewicht der Ware. Und siehe da: Die Quotienten sind alle gleich, in diesem Fall ergibt sich sogar der Preis pro kg.
  • Die Quotientengleichheit kann man einüben. Stellen Sie für andere proportionale Zuordnungen Tabellen auf (Beispiele oben). Nun geben Sie jedoch nicht (!) den Preis für 1 kg (oder 1 l, abhängig davon, was Sie wählen), sondern eine beliebige Zuordnung aus der Tabelle. Zum Beispiel erhält man 20 l Benzin für 32,60 Euro. Die anderen Werte in der Tabelle müssen nun anhand dieser vorgegebenen Zuordnung errechnet werden. Mit dem Quotienten geht das ganz leicht.
  • Hinweis: Nutzen Sie einen Taschenrechner, um diese wichtige Verständnisaufgabe nicht mit Rechenübungen zu belasten. Aber hinterfragen Sie das Ergebnis (typische Frage: Kann das sein?), um ein Verständnis für solche Zuordnungen zu entwickeln. Wenn 20 l Benzin nämlich 32,60 Euro kosten, können 10 l Benzin nicht 21 Euro kosten! Aber warum?
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