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Pythagoras-Puzzle - so beweisen Sie den Satz anhand einer geometrischen Figur

Sie finden Mathe ist abstrakt und schwer vorstellbar? Das muss nicht so sein. Denn viele mathematische Formeln und Sätze lassen sich bei näherer Beschäftigung anschaulich und leicht vorstellbar darstellen. Der Satz des Pythagoras kann beispielsweise einfach durch ein leicht zu erstellendes Puzzle veranschaulicht und bewiesen werden.

Der Satz des Pythagoras ist Basiswissen in jedem Geometrieunterricht.
Der Satz des Pythagoras ist Basiswissen in jedem Geometrieunterricht.

Was Sie benötigen:

  • Bleistift
  • Geodreieck
  • kariertes Papier
  • Schere
  • Filzstifte bzw. Buntstifte in Rot, Grün, Gelb

Allgemeines zum Satz von Pythagoras

  • Der Satz des Pythagoras ist eine der bekanntesten und bedeutsamsten Formeln der Mathematik. Er wurde von dem griechischen Philosophen und Mathematiker Pythagoras von Samos um 500 vor Christus niedergeschrieben und ist heute Bestandteil und Grundlage des Geometrieunterrichtes in der Schule.
  • Da mathematische Formeln oft schwer vorstellbar sind, hilft es manchmal, diese zu visualisieren. Den Satz des Pythagoras können Sie sehr gut darstellen, indem Sie ein kleines Puzzle basteln.

So wird ein Puzzle zur Darstellung des Satzes von Pythagoras gebaut

  1. Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit den Maßen a=3cm, b=4cm und c=5 cm. a und b bilden hierbei die kürzeren Seiten, welche Katheten genannt werden und zwischen ihnen liegt der rechte Winkel. c liegt bei Ihrer Zeichnung dem rechten Winkel gegenüber und bildet somit die Hypotenuse.
  2. Anwendung des Satzes von Pythagoras: 3²+4²=5² => 9+16=25. Rechnen Sie es am besten selbstständig mit dem Taschenrechner nach!
  3. Nun nehmen Sie einen möglichst dicken Filzstift (oder einen anderen kräftigen Buntstift) mit grüner Farbe und zeichnen Sie die Linie von a nach. Die Kante b erhält die Farbe gelb und c die Farbe rot.
  4. Anschließend zeichnen Sie aus den gleichen Farben jeweils ein Quadrat um die Schenkel des Dreiecks. Ihre Zeichnung sollte nun aus einem Dreieck mit den genannten Maßen, sowie drei farbigen Quadraten von unterschiedlicher Größe bestehen, welche an das Dreieck anschließen.
  5. Nun zeichnen Sie das Dreieck auf einem anderen Blatt viermal mit identischen Maßen nach. Auch hier werden die Schenkel des Dreiecks mit denselben farbigen Buntstiften nachgezeichnet. Außerdem wird das Quadrat von c gezeichnet. Es wird also einfach ein Viereck mit einer Seitenlänge von 5 cm gezeichnet. Die Kanten werden mit dickem Rot nachgezeichnet.
  6. Die Formen werden nun ausgeschnitten. Achten Sie darauf, dass die farbliche Markierung der Kanten zu erkennen bleibt.
  7. Jetzt werden die 4 Dreiecke so zusammengelegt, dass sie ein Quadrat bilden. Es müssen immer eine gelbe und eine grüne Kante eine Linie bilden und der rechte Winkel bildet die Ecken des Quadrates. Wenn die rote Linie, der c- Seite jetzt innen ein weiteres Quadrat bildet, haben Sie alles richtig gemacht. Legen Sie zur Veranschaulichung nun Ihr rotes Quadrat in die noch freie Quadratform.
  8. Sie haben nun ein Quadrat, welches die Fläche von allen Quadraten der 1. Zeichnung zusammen ergibt. Da eine Seite sich ja aus den Kanten a und b des Dreiecks zusammensetzt, hat das Quadrat einen Flächeninhalt von (a+b)², welches mit der binomischen Formel auszurechnen ist und a²+2ab+b² ergibt.
  9. Zeichnen Sie die Außenlinien des zuvor entstandenen Quadrates nach und entfernen Sie die Puzzle-Stücke. Legen Sie jetzt jeweils zwei der Dreiecke zu einem Rechteck zusammen und legen Sie das rote Quadrat daneben. Da Sie ja dieselben Puzzle-Stücke wie zuvor verwenden muss der Flächeninhalt der drei neu entstandenen Vierecke, ja dem des großen Quadrates entsprechen.
  10. Da die beiden Rechtecke ja die grüne a-Kante und gelbe b-Kante als Begrenzung haben, ist ihr Flächeninhalt "ab". Der Flächeninhalt des roten Quadrats ist logischerweise c². Zusammen haben also alle drei Vierecke einen Flächeninhalt von c²+ 2ab (da es zwei Rechtecke gibt).
  11. Dies kann nun gleichgesetzt werden mit den Maßen des großen Quadrats, welches Sie ja nachgezeichnet haben. Es ergibt sich dann: a²+2ab+b²=c²+2ab. Jetzt kann auf beiden Seiten der Gleichung -2ab gerechnet werden. Dann bleibt nur noch a²+b²=c², was ja der Satz des Pythagoras ist. Der Beweis ist also erbracht!

Hier wird der Satz des Pythagoras noch einmal anschaulich erklärt. Viel Spaß!

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