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Längenverhältnisse berechnen - so geht's

Grundlegendes in der Mathematik und besonders der Geometrie ist, wenn einmal praktisch durchgeführt eine schöne Übung, die auch noch Spaß machen kann. Dreiecke, Geraden und Winkel begegnen Ihnen täglich. Was man damit anstellen kann ist keine Zauberei.

Mathematik macht Spaß.
Mathematik macht Spaß.

Die Längenverhältnisberechnung erklären

  • In der Mathematik treffen Sie auf Längen bei Linien. Linien finden Sie, wenn SieDreiecke sehen und uns Linien betrachten, die sich schneiden. Wenn Sie jetzt einräumen, dass es auch Vierecke und Formen mit ganz vielen Ecken gibt, so ist das richtig. Hierbei erkennen Sie dennoch nach kurzem Nachdenken, dass man Dreiecke so in jedem anderen Vieleck unterbringen kann, dass kein Rest übrig bleibt.
  • Versuchen Sie es einmal. Ein Viereck kann man mit Linien unterteilen, sodass Dreiecke entstehen. Das geht auch mit Fünfecken und so weiter. Es reicht also, dass wir uns mit Dreiecken und Linien befassen, die sich schneiden.

Die Längenverhältnisse im Dreieck berechnen

  1. Zeichnen Sie zunächst einmal ein beliebiges Dreieck auf. Achten Sie dabei nicht auf die Größe der Winkel.
  2. Jetzt nehmen Sie ein Geo-Dreieck zur Hand und legen es an die längste Seite Ihres gezeichneten Dreiecks so an, dass der rechte Winkel des Geo-Dreiecks auf dieser langen Linie liegt. 
  3. Nun verschieben Sie das Geo-Dreieck auf dieser Linie, bis der Punkt erreicht ist, wo sich die beiden kürzeren Linien Ihres gezeichneten Dreiecks treffen. Wenn Sie nun diesen Punkt mit der langen Seite verbinden erhalten Sie automatisch zwei rechteckige Dreiecke.
  4. Das bedeutet also, dass Sie jedes Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilen können. Somit reicht es aus, wenn Sie sich nur mit diesen beschäftigen, was auch leichter ist. Um nun zu berechnen. Wie die Längenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck sind, verwenden Sie den Satz des Pythagoras. Dieser Satz nennt die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, das gegenüber dem rechten Winkels liegt c. Die beiden anderen Seiten nennen Sie a und b. Es gilt der Satz: c2=a2+b2 oder daraus folgend: c=die Wurzel aus a2+b2.

Längenverhältnisse berechnen mit Strahlensätzen

Nun schauen Sie sich noch die Situation an, wenn sich zwei Linien kreuzen. Um hier die Längenverhältnisse zu berechnen, müssen Sie etwas zeichnen.

  1. Zeichnen Sie zwei Geraden auf, die sich schneiden. Den Punkt, an dem sie sich schneiden, wird S genannt.
  2. Von S aus gesehen setzen Sie auf einer Geraden irgendwo einen Punkt. Diesen Punkt nennen Sie A. Fahren Sie noch etwas weiter der Geraden entlang und markieren einen weiteren Punkt. Diesen nennen Sie "A".
  3. Jetzt nehmen Sie sich die Gerade vor, die vom Punkt S aus gegenüber der andren Geraden verläuft. Auf dieser Geraden markieren Sie einen Punkt, der etwa gegenüber dem Punkt A liegt, und nennen diesen neuen Punkt "B".
  4. Nun müssen Sie A und B mit einer Linie verbinden und diese Linie parallel so lange verschieben, bis der Punkt A erreicht ist.
  5. Jetzt noch den Punkt A mit der anderen Geraden verbinden.
  6. Sie ziehen wieder eine Linie. Wo die Gerade getroffen wird, ist B.
  7. Schauen Sie sich das Gebilde an. Von A nach B verläuft eine Linie. Parallel dazu verläuft eine Linie von A nach B. Somit haben Sie die ursprünglichen Geraden unterteilt, und können nun die Strecken auf diesen vergleichen und berechnen.
  8. Hierzu kann nun der Strahlensatz helfen. Dieser vergleicht die verschiedenen Abschnitte auf den Geraden, die sich schneiden. Auf der Zeichnung sehen wir die Strecke von S bis A (SA), die Strecke S bis Ax(SAx), die Strecke A bis Ax (AAx) und gleiches auf der anderen Geraden. So sehen Sie also noch SB, SBx und BBx. Um die Längenverhältnisse dieser Strecken zu berechnen, bedienen Sie sich nun des Strahlensatzes. Hier gelten folgende Formeln: SA : SAx = SB : SBx und SA : AAx = SB : BBx und schließlich noch AB : AxBx = SA : SAx.  
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