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Wie berechnet man die Kantenlänge eines Würfels?

Das Volumen eines Würfels ist gegeben und Sie wollen herausfinden, welche Kantenlänge dieser Würfel hat. Diese typische Aufgabe aus dem Mathematikunterricht kann berechnet werden, wenn Sie die dritte Wurzel (Kubikwurzel) anwenden.

Welche Kantenlänge hat dieser Würfel?
Welche Kantenlänge hat dieser Würfel?

Was Sie benötigen:

  • Grundkenntnisse Würfel, Volumen, Wurzeln

Volumen eines Würfels - so wird es berechnet

  • Das Volumen eines Körpers ist ein Maß für seinen Rauminhalt, also beispielsweise die Menge an Flüssigkeit, die man in diesen Körper füllen kann. Das Volumen wird daher oft in Litern (l), aber auch in Kubikmetern (m³) oder Kubikzentimetern (cm³) angegeben.
  • Bei einem Würfel handelt es sich um einen geraden Körper, dessen Breite, Länge und Höhe gleichgroß sind. Die typischen Spielwürfel sind das einfachste Beispiel für solch einen Körper. Der Einfachheit halber bezeichnet man Breite, Länge und Höhe als Kantenlänge dieses Würfels.
  • Das Volumen eines Würfels hängt selbstredend nur davon ab, wie groß diese Kantenlänge ist. Es gilt der einfache Zusammenhang Volumen = Kantenlänge hoch 3. Sie müssen also die Kantenlänge dreimal mit sich selbst multiplizieren.
  • Bezeichnet man die Kantenlänge mit dem Buchstaben a und das Volumen mit V, erhalten Sie die Formel V = a³. Bei einer Kantenlänge von a = 2 cm hat der Würfel dementsprechend das Volumen V = (2 cm)³ = 2 cm x 2 cm x 2 cm = 8 cm³ (sprich: 8 Kubikzentimeter).

Kantenlänge eines Würfels - die Umkehraufgabe

Haben Sie bei einer Aufgabenstellung nun das Volumen eines Würfels vorliegen und es soll die Kantenlänge berechnet werden, so handelt es sich sozusagen um die Umkehraufgabe. Um die Vorgehensweise zu zeigen, sei ein Würfel mit einem Volumen von V = 240 cm³ gegeben und Sie sollen seine Kantenlänge a berechnen: 

  1. Setzen Sie das gegebene Volumen in die Formel ein und Sie erhalten 240 cm³ = a³. Berechnet werden soll die Unbekannte a.
  2. Mathematisch müssen Sie hier die Gegenoperation zur dritten Potenz vornehmen. Dabei handelt es sich (analog übrigens zum Quadrat und der Wurzel) um das Ziehen der dritten Wurzel, auch Kubikwurzel genannt. Sie suchen also eine Zahl, die dreimal mit sich selbst malgenommen 240 ergibt.
  3. Diese Aufgabe können Sie natürlich nur in seltenen Fällen im Kopf erledigen. Sie benötigen also ein Tabellenbuch, das dritte Wurzeln beziehungsweise Kubikwurzeln beinhaltet oder einen Taschenrechner, der Ihnen dies berechnet.
  4. Einige Taschenrechner verfügen über eine eigene Taste zum Berechnen der Kubikwurzel, ansonsten benutzen Sie die Taste xy beziehungsweise y√x für diese Aufgabe. Für x setzen Sie entsprechend das gegebene Volumen V (hier 240) ein, im ersten Fallen ist y = 0,333 (für 1/3), im zweiten Fall ist y = 3 (für dritte Wurzel). Sie erhalten für die Kantenlänge a = 6,21 cm (gerundet auf zwei Stellen hinter dem Komma).
  5. Im Internet gibt es sogenannte Wurzelrechner, mit denen Sie beliebige Wurzeln ziehen können. Geben Sie als Aufgabe "3. Wurzel (Kubikwurzel)" sowie die Zahlen "240" und Sie erhalten das Ergebnis auf 11 Stellen hinter dem Komma genau. Auch hier ist natürlich ein Runden erforderlich.
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