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Tiefpunkt berechnen - so wird's gemacht

Berechnen Sie den Tiefpunkt! So lautet eine häufige Aufgabe aus der Analysis. Kennt man die Bedingungen für einen Tiefpunkt, gelingt dies relativ einfach.

Berechnen Sie den Tiefpunkt.
Berechnen Sie den Tiefpunkt.

Was Sie benötigen:

  • Grundkenntnisse Analysis (Ableitung einer Funktion)
  • evtl. Formelsammlung
  • evtl. Taschenrechner

Tiefpunkt berechnen - das müssen Sie wissen

Diese Aufgabe gehört in die Oberstufenmathematik, speziell in die Analysis. Auch in Kurvendiskussionen kommt sie vor. So werden dort Rechenmethoden entwickelt, mit denen man einen (lokalen) Tiefpunkt, auch Minimum genannt, nahezu jeder beliebigen Funktion berechnen kann - die Kenntnis der beiden folgenden Bedingungen vorausgesetzt:

  1. Für ein Extremum, egal ob Tiefpunkt oder Hochpunkt (Minimum oder Maximum), gilt immer die notwendige Bedingung: f'(xe) = 0 (xe stehe für den x-Wert des Tiefpunktes). In Worten: An einem Tiefpunkt xe muss die erste Ableitung der Funktion Null sein.
  2. Für ein (lokales) Minimum gilt weiterhin die hinreichende Bedingung: f''(xe) > 0. In Worten: Es liegt an der Stelle xe nur dann ein Tiefpunkt vor, wenn dort die zweite Ableitung einen Wert größer als Null annimmt.

Den Tiefpunkt berechnen - ein Beispiel

Sie sollen für die Funktion x³ + 3x² - 9 den Tiefpunkt berechnen bzw. klären, ob es überhaupt einen gibt.

  1. Sie berechnen die erste Ableitung der Funktion f'(x) = 3x² + 6x
  2. Um die erste Bedingung zu erfüllen, setzen Sie diese Ableitung gleich Null: 3x² + 6x = 0
  3. Aus dieser Gleichung können Sie die x-Werte der Extrema, also von eventuell vorhandenen Hoch- und Tiefpunkten berechnen.
  4. Lösen Sie also diese quadratische Gleichung (beispielsweise mit abc-Formel oder durch Ausklammern von x) und Sie erhalten die beiden Lösungen xe1 = 0 und xe2 = -2
  5. Diese beiden Lösungen müssen Sie jetzt noch darauf hin untersuchen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Dazu berechnen Sie die zweite Ableitung f''(x) = 6x + 6
  6. Nun setzen Sie (nacheinander) die beiden gefundenen Lösungen in diese zweite Ableitung ein:
  7. Sie erhalten f''(0) = 6 (für x Null einsetzen) sowie f''(-2) = -6.
  8. Nach der zweiten Bedingung (siehe oben) handelt es sich also bei x = 0 um einen Tiefpunkt, denn die zweite Ableitung ist größer als Null (bei -2 liegt übrigens ein Hochpunkt vor).
  9. Leider sind Sie mit der Aufgabe noch nicht ganz fertig, denn zu einem Punkt gehören immer x- und y-Wert. Sie müssen also noch den y-Wert zu xe1 = 0 berechnen. Dies gelingt leicht, denn alle y-Werte lassen sich mit der Ausgangsgleichung der Funktion, also f(x), berechnen. Setzen Sie dort für x Null ein und Sie erhalten y = - 9.

Fazit: Der Tiefpunkt der Funktion ist T(0/-9) und ist gleichzeitig lokales Minimum.

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