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Binomialverteilung: log - Hilfreiches

Die Binomialverteilung ist eine wichtige Art der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Je nach Frage- oder Aufgabenstellung ist hier auch das Rechnen mit dem Logarithmus notwendig. So gelingt es.

Der Münzwurf als klassisches Bernoulli-Experiment
Der Münzwurf als klassisches Bernoulli-Experiment

Was ist eine Binomialverteilung?

  • Die Binomialverteilung ist eine Verteilungsart bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit ihr kann grafisch abgelesen werden, wie wahrscheinlich ein bestimmter Ausgang eines Experimentes bei mehrfacher Durchführung ist.
  • Bei Bernoulliprozessen handelt es sich um Experimente, die nur zwei mögliche Ausgänge haben, "Erfolg" und "Misserfolg". Ein klassisches Beispiel ist hierfür der Wurf einer Münze.
  • Eine Binomialverteilung ist bei p = 0, p = 1/2 und p=1 symmetrisch und besitzt die erzeugende Funktion gx(s) = ( ps + (1-p))n .

Was ist der Logarithmus?

  • Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion zum Potenzieren. Wenn also gilt a=bx,bedeutet das, dass x = logb(a) ist. Die Binomialverteilung ist eine Verteilungsart bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
  • Soll der Logarithmus mit dem Taschenrechner berechnet werden, bietet es sich an, den dekadischen Logarithmus, auch lg abgekürzt, anzuwenden.
  • Hier gilt, dass logb(a) = lg(a) / lg(b) . Somit ist auch x= lg(a) / lg(b). Sprachlich ausgedrückt ist also die Potenz der Basis b der dekadische Logarithmus der Zahl a dividiert durch den dekadischen Logarithmus der Basis b.

Der Zusammenhang

  • Besagt eine mathematische Aufgabe, dass berechnet werden soll, wie oft ein Bernoulli-Experiment durchgeführt werden muss, um eine bestimmte Gesamtwahrscheinlichkeit für insgesamt mindestens ein positives Ergebnis zu erhalten, so kann dies mit dem Logarithmus berechnet werden.
  • Für die Berechnung werden nun aber die negativen Experimentausgänge betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Ausgang bei einfacher Durchführung liegt folglich bei 1-p. Dies entspricht der Basis b beim Potenzrechnen. x gibt hier die Anzahl der Durchgänge an und a die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Ergebnis, die erreicht werden soll. Durch Einsetzen der Werte in die Logarithmusformel kann x berechnet werden.
  • Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, mit einer Münze beim einmaligen Werfen das positive Ergebnis Kopf zu erhalten, liegt bei 50%. Damit liegt die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Ergebnis ebenfalls bei 50%, wodurch b=0,5 ist.
  • Nun wird gefragt, wie oft die Münze geworfen werden muss, um mit einer 90%igen Wahrscheinlichkeit mindestens einmal Kopf zu werden. Dies bedeutet, dass a = 1-0,9 = 0,1 ist.
  • Aus der Formel ergibt sich nun x= lg(0,1)/lg(0,5) = 3,32. Da 3 Würfe eine zu geringe Wahrscheinlichkeit mit sich bringen würden, muss die Münze in diesem Beispiel 4-mal geworfen werden, um zu 90 % mindestens einmal Kopf zu werfen.
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