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Analytische Geometrie: Den Schattenwurf beschreiben - so geht's

Analytisch veranlagt sind Sie nicht gerade, kein Wunder, dass Ihnen die analytische Geometrie daher hier und da schwer fällt. Gerade ist der Schattenwurf dran. Wie aber lässt sich ein solcher mathematisch beschreiben oder sogar konstruieren?

Schatten sind als zentrische Streckung darstellbar.
Schatten sind als zentrische Streckung darstellbar.

Schatten durch analytische Geometrie beschreiben

  1. Ist es in analytische Geometrie Ihre Aufgabe, einen Schattenwurf zu beschreiben, und liegen keine konkreten Angaben zu der Figur vor, deren Schattenwurf Sie beschreiben sollen, dann entwerfen Sie am besten ein Koordinatensystem mit x-, y- und z-Achse, in welches Sie eine beliebige, zweidimensionale Figur einzeichnen.
  2. Über Ihrer Figur müssen Sie nun der Lichtquelle Punktkoordinaten zuweisen, wobei die Figur nicht schmaler sein darf, als sie von der Lichtquelle entfernt ist. Von der konstruierten Lichtquelle aus zeichnen Sie nun als Geraden "Lichtstrahlen" durch Ihren Körper, die Sie bis über die x- und y-Linien ziehen. Die Punkte, an denen die Geraden auf die Achsen treffen, sollten Sie markieren und schließlich verbinden. Es ergibt sich eine Fläche, welche als Schatten zu schraffieren ist. 
  3. Die Schattenfläche können Sie abschließend auf mehreren Wegen beschreiben und klassifizieren. Mögliche Parameter hierzu wären seine Winkel oder gar eine Funktionsgleichung zu den Punkten seiner Ränder. 
  4. Zuletzt wäre es für eine möglichst füllende Beschreibung zu empfehlen, Geradengleichungen aufzustellen, welche die Strecke zwischen den Punkten y und x beschreiben, in denen der Schatten die x- und y-Achse durchbrochen hat. 

Den Schattenwurf als zentrische Streckung einzeichnen

  • Spricht man von einem zweidimensional wiederzugebenden Schattenwurf, so sollte Ihnen klar sein, dass dies mit der zentrischen Streckung gleichbedeutend ist. Die wiederum lässt sich wohl am einfachsten als Ähnlichkeitsabbildung bezeichnen, was bedeuten soll, dass sich mit ihr ein beliebiger Körper winkelgetreu abbilden lässt.
  • Für die zentrische Streckung ist Ihnen ein Schema an die Hand zu geben, nach dem es vorzugehen gilt. So hat immer ein Streckzentrum Z gegeben zu sein, von dem mehrere Strecken ausgehen. Solange m größer ist als 1, werden jene Strecken nun um einen Streckfaktor m zu einem bestimmten Punkt erweitert. Liegt m unter 1, so verkürzen Sie die Strecken dagegen um den gegebenen Faktor. Ein letzter Fall ergibt sicht, wenn der Streckfaktor gleich 1 ist. So decken sich unter diesen Umständen Abbild und Strecke, weil alle Punkte auf sich selbst geworfen werden. 
  • Die zentrische Streckung lässt sich selbstverständlich auch mathematisch beschreiben. So sollte ein Punkt  Z der Zeichenebene gegeben sein und dazu eine Zahl m, die niemals 0 sein darf. Die zentrische Streckung hat nun Z zum Zentrum, wobei m den Streckungsfaktor meint, mit der die Zeichenebene abgebildet wird, wobei der Bildpunkt eines realen Punktes P als P' zu bezeichnen ist.
  • Z, P und P' müssen sich dabei auf einer Geraden befinden. Wenn m größer ist als 0, so liegen P und sein Abbild auf der gleichen Seite; ist m kleiner als 0, so liegen sie auf entgegengesetzten. Die Länge der Strecke ZPP' errechnet sich schließlich aus dem m-fachen von Streckenlänge ZP. Wird eine Gerade abgebildet, so verläuft die Bildgerade parallel zu der eingezeichneten Realgeraden, soll heißen, das Bild liegt parallel zu Abbild. Aus der obigen Beschreibung ergibt sich schließlich die vektorielle Schreibweise P'= Z+m(P-Z)= mP+(1-m)Z. 
  • Wollen Sie beispielsweise ein Dreieck abbilden bzw. den Schattenwurf eines Dreiecks beschreiben, so sollten Streckzentrum Z und die Punkte A, B und C für das Dreieck gegeben sein, wobei Z in diesem Falle die Lichtquelle meint und das Dreieck den Gegenstand, dessen Schatten Sie abbilden wollen. Dazu muss ein Streckfaktor angegeben sein, so beispielsweise m = 4. 
  • Zur Lösung einer solchen Aufgabe ist zunächst das Dreieck einzuzeichnen, von dessen 3 Dreieckspunkten aus je eine Halbgerade zu Z gezogen gehört. Die entstehenden Strecken sind von Ihnen abzumessen und mit Streckfaktor 4 malzunehmen. Dadurch ergeben sich Bildpunkte, welche auf die Geraden übertragen werden und schließlich zu einem Dreieck zu verbinden sind. Die verbundenen Bildpunkte ergeben schließlich die Fläche Ihres Schattenwurfs.

Vielleicht sind Sie mit diesem Wissen immer noch kein Profi, was analytische Geometrie betrifft, jedoch müssen Sie sich nun wenigstens nicht mehr vor der nächsten Mathestunde fürchten.

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