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Schnittmenge und Kreise - so berechnen Sie die Schnittmenge von 2 Kreisen

Kreise, Schnittpunkte, Abstände und Schnittmengen - so manch einem steht der kalte Schweiß auf dem Rücken, wenn er das hört. Wie berechnet sich nochmal die Schnittmenge zweier Kreise und gibt es da überhaupt eine Formel, die Sie anwenden können? Ja, die gibt es und nicht nur eine!

Kreisschnittmengen zu berechnen ist aufwendig.
Kreisschnittmengen zu berechnen ist aufwendig.

Sonderfälle bei sich scheinbar schneidenden Kreisen

  1. Der erste Schritt Ihrer Rechnung sollte die Bestimmung von d sein, wobei d den Abstand zwischen Ihren 2 Kreismittelpunkten bedeutet. Dies gelingt Ihnen ziemlich einfach, indem Sie jeweils die x- und y-Koordinaten der beiden Kreismittelpunkt ablesen, sodass Sie x1 und x2 sowie y1 und y2 erhalten.
  2. Sonderfälle bei sich scheinbar schneidenden Kreisen

    1. Der erste Schritt Ihrer Rechnung sollte die Bestimmung von d sein, wobei d den Abstand zwischen Ihren 2 Kreismittelpunkten bedeutet. Dies gelingt Ihnen ziemlich einfach, indem Sie jeweils die x- und y-Koordinaten der beiden Kreismittelpunkt ablesen, sodass Sie x1 und x2 sowie y1 und y2 erhalten.
    2. Nun ziehen Sie von den Koordinaten des ersten Mittelpunkts die des zweiten Mittelpunkts ab und multiplizieren das Ganze mit sich selbst, um schließlich die Quadratwurzel daraus zu ziehen. In einer Formel meint das schließlich: Sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2) = d und damit Ihr gesuchter Abstand.
    3. Sie sehen sich nun als Nächstes die Radien der beiden Kreise an und addieren diese. Ist die resultierende Summe kleiner als d, so schneiden sich Ihre Kreise nicht und die Schnittmenge ist 0, weil sie zu weit auseinanderliegen.
    4. Ist d dagegen 0 und sind die Kreisradien gleich, so können Sie davon ausgehen, dass Ihre Kreise sich in unendlich vielen Punkten überschneiden, weil es sich um absolut deckungsgleiche und identisch platzierte Figuren handelt. Ihre Schnittmenge wäre damit die Flächenmenge des Einzelkreises.
    In einer Formel meint das schließlich: Sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2) = d und damit Ihr gesuchter Abstand.
  3. Sie sehen sich nun als Nächstes die Radien der beiden Kreise an und addieren diese. Ist die resultierende Summe kleiner als d, so schneiden sich Ihre Kreise nicht und die Schnittmenge ist 0, weil sie zu weit auseinanderliegen.
  4. Ist d dagegen 0 und sind die Kreisradien gleich, so können Sie davon ausgehen, dass Ihre Kreise sich in unendlich vielen Punkten überschneiden, weil es sich um absolut deckungsgleiche und identisch platzierte Figuren handelt. Ihre Schnittmenge wäre damit die Flächenmenge des Einzelkreises.

So können Sie die Schnittmenge berechnen

  1. Hat sich Deckungsgleichheit und zu weite Entfernung ausschließen lassen, so müssen Sie von der Mitte des ersten Kreises aus die jeweiligen Schnittpunkte von den Kreisen berechnen. Dazu benötigen Sie die Formel “a”: a = (r1 ^ 2 - r2 ^ 2 + d ^ 2) / (2d), wobei r1 den Radius Ihres ersten Kreises bedeutet und r2 für den Radius des zweiten steht.
  2. Sie versuchen anschließend, den Mittelpunkt P Ihrer Schnittpunkte zu errechnen. Die entsprechende Formel dafür lautet: P = c1 + a * (c2 - c0) / d, wobei c1 den Mittelpunkt Ihres ersten Kreises meint, während in c2 je das Zentrum des zweiten eingesetzt werden soll.
  3. Nun wollen Sie herausfinden, wie weit Ihre Schnittpunkte je von Punkt P entfernt liegen. Sie ziehen dazu einfach die Quadratwurzel aus ihrer Differenz. Die gesuchte Entfernung h errechnen Sie so mit der Formel: Sqrt (r1 ^ 2 - a ^ 2).
  4. Jetzt sollen die Koordinaten des ersten Überschneidungspunkts bestimmt werden, indem Sie für die x-Koordinate die Formeln X 1 = Px + h (c2y - c1y) / d) und für die y-Koordinate die Formel (y1 = Py - h (c2x - c1x) / d) anwenden, wobei c2x die X-Koordinate Ihres zweiten Kreismittelpunkts meint, während c1x für die X-Koordinate des ersten Kreismittelpunkts steht.
  5. Den zweiten Schnittpunkt berechnen Sie nun mit der Formeln X 2 = Px - h (c1y - c0y) / d) für die X-Koordinate und y2 = Py + h (c1x - c0x) / d) für die y-Koordinate.
  6. Was folgt, ist der letzte Schritt: mit der Formel (M1 - S1 - S2 ) A = 2 * (360 r² Pi / 120 - 1/4 * r² * Wurzel(3) ) berechnen Sie die gesuchte Schnittmenge. Stellen Sie diese Formel nach A um, und beachten Sie, dass M1 dabei der Mittelpunkt des ersten Kreies, S1 der gerade errechnete obere Schnittpunkt der Kreise, M2 der Mittelpunkt des rechten Kreises und S2 der untere Schnittpunkt Ihrer Kreise ist.

Ihre Schnittmenge sollte sich nun errechnet haben. Zwar hängt mathematisch ein grausamer Haufen Arbeit damit zusammen, im Endeffekt handelt es sich aber um Formelarbeit und lösbar ist die Rechnung allemal.

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