Äquivalent in Mathe - Erklärung

So können Sie Äquivalenz in Mathe verstehen

Als Definition bekommen Sie in der Mathematik in der Regel einen Satz, der ungefähr so lautet: "Gleichungen sind äquivalent, wenn Sie gleiche Lösungen und gleiche Definitionsmengen haben." Vermutlich wird Sie das kaum weiter bringen. Auch der Satz, dass bei Äquivalenz beide Aussagen wahr oder falsch sein müssen oder dass, wenn eine der Aussagen falsch ist, die andere dies auch sein muss, wird wohl eher zu Fragenzeichen als zu Klarheit führen.

• Versuchen Sie, sich die Terme auf einer altmodischen Waage vorzustellen. Die Terme sind äquivalent, wenn die Waage im Gleichgewicht ist. Diese bleibt im Gleichgewicht, wenn Sie auf beiden Seiten das Gleiche dazulegen oder wegnehmen oder wenn Sie beide Seiten um den gleichen Faktor vervielfachen oder durch den gleichen Faktor teilen.
• Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren mit der gleichen Zahl sind sogenannte Äquivalenzumformungen. Damit können Sie den Wahrheitsgehalt einer Aussage nicht verändern. Beispiel: x = 2 <=> 2 x = 4. Das Zeichen "<=>" bedeutet übrigens äquivalent.

So prüfen Sie nach, ob etwas äquivalent ist

• Angenommen Sie haben zwei Aussagen, dann achten Sie zunächst darauf, ob diese die gleiche Definitionsmenge haben. Beispiel: a =(2 x² + x)/x und b = 2 x + 1. Die beiden Terme haben unterschiedliche Definitionsmengen, daher können Sie nicht äquivalent sein. Da der Nenner nicht 0 sein kann, ist im ersten Term 0 ausgeschlossen, im zweiten aber nicht.
• Sofern zwei Terme die gleiche Definitionsmenge haben, kann Äquivalenz vorliegen. Ob dies der Fall ist, können Sie prüfen, indem Sie diese gleichsetzen: a = 2 x² + 2 x; b= 2 (x²+x). Gilt a = b ? 2 x² + 2 x = 2 (x²+x) => 2 x² + 2x = 2 x²+ 2 x)| -2 x (Sie nehmen auf beiden Seiten der Waage das Gleiche weg) => 2 x² = 2 x²| - 2x²  =>  0=0 ist eine wahre Aussage, also liegt Äquivalenz vor.


Termstruktur - so ordnen Sie Terme mit Struktur

Unter mathematischen Termen werden sowohl Bezeichnungen für mathematische Objekte (z. B. Zahlen) …

• Es kommt auch die Frage vor, ob bei zwei Gleichungen Äquivalenz vorliegt. In dem Fall prüfen Sie nach, ob gleiche Lösungs- und Definitionsmengen gegeben sind. Sie können auch die beiden Gleichungen vereinfachen, um darüber zu entscheiden. Beispiel: 10/x = 2 und 2 x = 10. Da im Fall von 10/x das x nicht 0 sein kann, liegt keine Äquivalenz vor. Aber wenn Sie diese für  5 + x = 10  und 2 x = 10 überprüfen sollen, sieht es anders aus. Die beiden Gleichungen sind äquivalent, weil in beiden Fällen der gesamte Zahlenraum die Definitionsmenge ist und die Lösung in beiden Fällen 5 ergibt.

Typische Fallen bei solchen Rechnungen

• Vergessen Sie nie, den Definitionsbereich zu überprüfen. Wenn Sie zum Beispiel im ersten Fall (a =(2 x² + x)/x und b = 2 x + 1) mit x multiplizieren, ändert sich der Definitionsbereich. Sie würden in dem Fall fälschlicherweise von Äquivalenz ausgehen, obwohl diese nicht vorliegt.
• Beachten Sie, dass nur Äquivalenzumformungen, also die Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division mit der gleichen Zahl ohne Problem bei der Umformung verwendet werden können.
• Andere Rechenoperationen sind nur dann zulässig, wenn die Gleichheit der beiden Seiten gewährleistet ist. Quadrieren oder radizieren können zu falschen Ergebnissen führen. Beispiel: Ist 5 gleich 9? Ansatz: 5 = 9 | - 7 (zulässige Äquivalenzumformung) => -2 = 2 | ()² (Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung) => 4 = 4. Dieser Fehler würde auch passieren, wenn Sie zum Beispiel -2+√x = 2-√x setzen!

Wenn es in der Mathematik um den Ausdruck äquivalent geht, sollen Sie also in der Regel zeigen, dass zwei Ausdrücke identisch sind. Dazu werden diese gleichgesetzt bzw. die Lösungen bestimmt.