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Wie kann man ein Papier 8-mal falten?

Es gibt Behauptungen, die immer wieder auftauchen, wenn Freunde zusammensitzen und sich unterhalten. Zum Beispiel die Behauptung, dass man ein Papier nicht mehr als 8-mal falten kann. Stimmt das eigentlich?

Schlichtes weißes Papier kann mathematisch sehr geheimnisvoll sein!
Schlichtes weißes Papier kann mathematisch sehr geheimnisvoll sein!

Um diese Frage zu beantworten, ist zunächst ein kleiner Blick darauf empfehlenswert, was passiert, wenn Sie ein Papier 8-mal falten:

Die Theorie hinter dem Versuch, Papier 8-mal zu falten

  • Wenn Sie ein beliebiges Stück Papier nehmen und es falten, stellen Sie mir jedem Falten aufeinander liegende Lagen her, die es irgendwann unmöglich machen, das Papier weiter zu falten.
  • Auf die Größe des Papiers kommt es dabei nicht an, wie Sie sich wahrscheinlich denken können. Oder sagen wir besser, kommt es nicht entscheidend an. Warum, wird sich aus den folgenden Ausführungen noch erklären.
  • Wenn Sie das Papier einmal falten, haben Sie die Fläche um die Hälfte verdoppelt, das Papier besteht jetzt aus zwei Schichten. 2-mal falten ergibt vier Schichten, 4-mal falten 16 Schichten, wenn das Papier 8-mal gefaltet werden soll, hätten Sie somit 256 Schichten Papier.
  • Diese 256 Schichten versammeln sich aber auf einer Fläche, die durch das Falten sehr viel kleiner geworden ist: Die erste Faltung macht das Papier halb so groß, mit der siebenten ist es bereits nur noch ein 128tel so groß wie das Ausgangspapier.
  • Das kann man leicht selbst ausprobieren: Wenn Sie ein normal dickes Din A4-Papier mit einem Gewicht von 80 Gramm pro Quadratmeter sechsmal falten, dann hat man schon eine Art dicken, unbeweglichen Knubbel in der Hand, mit dem nicht mehr viel anzufangen ist.
  • Das Papier hat eine einfache Dicke von 0,1 mm, das ergibt bei der vierten Faltung bereits 1,6 mm, schon bei der 8. Faltung ist unser Papier jedoch bereits 2,64 cm dick, dafür aber sehr klein, um das noch zu falten, braucht man bereits eine ziemlich gewaltige Kraft.
  • Wenn Sie nun weiterrechnen, verstehen Sie schnell, warum  man irgendwann nicht mehr weiter falten kann: Bei der 25. Faltung hätten wir dann eine Dicke von rund 3,3 km erreicht!

Papier 8-mal falten - so kann es doch funktionieren

  • Wenn Sie vor die Wette gestellt werden, ob man ein Papier 8-mal falten kann, können Sie meist unbesorgt annehmen, weil Sie einfach die in der Regel unpräzise Formulierung ausnutzen können. Solange der Wettanbieter nicht sagt: “Ich wette, dass ein Papier nicht 8-mal jeweils in der Mitte gefaltet werden kann, sodass es zugleich in der Fläche halbiert wird”, nehmen Sie einfach ein Blatt ganz normales Papier und falten es wie eine Ziehharmonika in einzelnen Streifen. Das geht erheblich öfter, wenn Sie darauf achten, dass Sie immer nur ganz schmale Streifen falten.
  • Wenn der Wettanbieter das nächste Mal genauer formuliert, sollten Sie ebenfalls genau hinhören: Wenn er jetzt wettet, dass ein Papier nicht 8-mal in der Mitte unter Halbierung der Fläche gefaltet werden könne, könnten Sie immer noch auf die Wette eingehen. Sie bräuchten dann nur eine lange, dünne und stabile Rolle Papier, z. B. eine Bonrolle, die Sie mindestens 100 Meter lang ausrollen müssten. Und dann immer der Länge nach zusammenfalten, bei 100 Metern hätten Sie bei der 9. Faltung noch knapp 20 cm Länge zur Verfügung, das könnte noch klappen mit dem Umlegen (müsste aber auf jeden Fall vorher ausprobiert werden, ehe Sie Haus und Hof verwetten).
  • Bereits erprobt worden sein soll diese Faltung an einer 1,2 km langen Toilettenpapierrolle, die angeblich 12-mal gefaltet wurde. Außerdem haben Rechenkünstler ermittelt, dass diese Rolle eine Länge von ca. 4 km bekommen müsste, um eine 13. Faltung hinzubekommen.
  • Wenn Ihr Wettgegner es nun endgültig gelernt hat und verlangt, dass Sie ein quadratisches Papier mehr als 8-mal in der Mitte unter Halbierung der Fläche falten, haben Sie immer noch Chancen: Das soll klappen, wenn ein ganz dünnes Papier gefaltet wird, das aber die Fläche eines Fußballfeldes einnimmt oder wenn ein sehr flexibles Papier verwendet wird, z. B. eingeöltes Backpapier. Der Trick dabei ist, dass bei einem Papier mit einer sehr losen Faserstruktur die einzelnen Papierfasern beim Falten gedehnt werden können, so um die Kurve gezogen können, und sich dann anschließend zusammenpressen lassen. Sehr dünnes Papier bringt natürlich auch einen kleinen Bonus bei der Dicke, die das ganze Paket erreicht, sehr lange hält der sich jedoch nicht. Auch hier werden sich also höchstens eine oder zwei Faltungen mehr erreichen lassen, auch hier gilt: Ausprobieren, bevor Sie sich um Kopf und Kragen wetten!

Denn Sie könnten die Rechnung mit der Dicke, die wir oben begonnen haben, einfach noch ein bisschen weiterführen: Bei unseren Din A4-Papier mit 80 Gramm Gewicht würden Sie 42 Faltungen brauchen, dann hätte das gefaltete Papier eine Dicke erreicht, die von der Erde bis zum Mond reicht.

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