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Was sind Primzahlen und wofür braucht man sie?

Die geheimnisvolle Primzahl – es hilft nichts, sie spielt eine große Rolle in der Mathematik, und Primzahlen sind auch viel einfacher zu begreifen, wenn man sich ein wenig mit den Besonderheiten dieser Zahlen beschäftigt.

Auch die oft unbeliebte 13 ist eine Primzahl!
Auch die oft unbeliebte 13 ist eine Primzahl!

Ganz außerordentliche Zahlen sind die Primzahlen auf jeden Fall, die sich aber nicht nur durch einige Überraschungen auszeichnen, sondern sich auch für so manche überraschende Rechnung eignen.
   

Was zeichnet Primzahlen aus?

  • Eine Primzahl ist zunächst immer eine natürliche Zahl, also eine positive ganze Zahl. Zu den Primzahlen zählen jedoch nur natürliche Zahlen, die größer als eins sind.
  • Das entscheidende Merkmal einer Primzahl ist aber, dass sie außer durch 1 nur durch sich selbst geteilt werden kann, das Ergebnis ist dann immer 1. Wenn Sie durch 1 geteilt wird, kommt als Ergebnis natürlich immer die Primzahl selbst heraus.
  • Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die immer nur genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Das können Sie ausprobieren: die Primzahlen bis 100 lauten 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97.
  • Eine weitere Eigenschaft der Primzahlen ist, dass mit Ausnahme der Zahl 2 alle Primzahlen ungerade Zahlen sind. Denn alle geraden Zahlen lassen sich ja nicht nur durch sich selbst und durch 1 teilen, sondern auch noch auf jeden Fall durch die 2 teilen. Es gibt noch andere spezifische Eigenschaften der Primzahlen, die gute Mathematiker selbstverständlich kennen.
  • Durch die Besonderheit der Primzahlen kann man die natürlichen Zahlen mathematisch in zwei Sorten teilen: Jede natürliche Zahl größer als 1, die eine Primzahl ist, wird prim genannt, wenn sie dagegen keine Primzahl ist, wird sie als zusammengesetzte Zahl bezeichnet. Die 0 und die 1 nehmen eine Sonderstellung ein, sie sind weder zusammengesetzt noch prim.

Wofür sind Primzahlen zu gebrauchen?

  • Die Primzahlen haben eine grundlegende Bedeutung für mehrere fundamentale mathematische Aussagen. Das liegt daran, dass man aus der oben beschriebenen Definition der Primzahlen wichtige Folgerungen ziehen kann:
  • Es existieren sogenannte Primfaktoren, aus denen jede natürliche Zahl gebildet werden kann. Jede natürliche Zahl kann also errechnet werden, indem zwei Primzahlen multipliziert werden. Die Reihenfolge dieser Multiplikatoren ist ebenso eindeutig und unverwechselbar wie die Primzahlen (es kommt aber nicht darauf an, welcher dieser beiden Faktoren in dieser Reihenfolge vorne steht). Beide Aussagen zusammen werden als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet.
  • Das kann man schnell nachvollziehen, wenn man mit den ersten Zahlen rechnet, die keine Primzahlen sind: 4 ist 2 x 2, anders lässt sich 4 nicht durch Multiplikatoren errechnet. 6 ist 2 x 3, 8 ist 2 x 4, 9 ist 3 x 3, 10 ist 2 x 5, 12 ist 2 x 6, 14 ist 2 x 7. Die Reihenfolge der Multiplikatoren lautet 2-2, 2-3, 2-4, 3-3, 2-5, 2-6, 2-7 und so unverwechselbar geht das weiter.
  • Die beiden Primzahlen, aus denen eine natürliche Zahl gebildet werden kann, nennt man die Primfaktoren dieser Zahl. Bisher wurde keine Methode gefunden, die es ermöglicht, die Primfaktoren wirklich großer Zahlen in einer effizienten Zeit zu bestimmen.
  • Durch die Einzigartigkeit der Primfaktoren werden die Primzahlen zu ganz außergewöhnlichen Zahlen, sie wurden schon als “Atome der Mathematik” bezeichnet und mit den Elementen in der Chemie verglichen.
  • Der Fundamentalsatz der Arithmetik lässt sich durch das Lemma von Euklid beweisen, das besagt: Wenn ein Produkt aus zwei natürlichen Zahlen durch eine Primzahl geteilt werden kann, kann man davon ausgehen, dass auch einer der Faktoren durch diese Primzahl teilbar ist.
  • Eine weitere Folgerung ist, dass Primzahlen niemals errechnet werden können, indem man zwei andere natürliche Zahlen größer als 1 multipliziert. Das ist praktisch der Umkehrschluss aus der Prämisse, dass eine Primzahl immer nur durch 1 und durch sich selbst geteilt werden kann.
  • Die Primzahlen spielen noch in vielen anderen mathematischen Formeln und Phänomenen eine Rolle, mit denen häufig nur noch Mathematikwissenschaftler zu tun haben, z. B. im kleinen Satz von Fermat, dem Legendre-Symbol, beim Binomialkoeffizienten, bei den Giuga-Zahlen und bei verschiedenen linearen Rekursionen. 


Schon, wenn man die Rechenfolge der ersten Primfaktoren vorführt, kann man normalerweise in einem Freundeskreis, der nicht aus Mathematikern besteht, Staunen hervorrufen. Die Bezeichnung „Primzahl“ leitet sich übrigens aus dem Lateinischen ab, die “numerus primus” ist “die erste Zahl“.


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