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Funktionsterm in Scheitelpunktform umformen - so geht's

In der Analysis wird es häufig nötig, dass Sie Funktionsterme umformen, um beispielsweise die Scheitelpunktform zu bekommen. Diese benötigen Sie wiederum, um den Scheitelpunkt, das Extremum der Funktion, bestimmen zu können.

Das Umformen in die Scheitelpunktform ist nicht so schwer.
Das Umformen in die Scheitelpunktform ist nicht so schwer.

Generelles über die Scheitelpunktform

  • Die Scheitelpunktform ist die Form einer quadratischen Gleichung, aus welcher man einen Scheitelpunkt sofort ersehen kann.
  • Zudem gibt diese Form der Gleichung Aufschluss darüber, ob die zugehörige Parabel noch oben oder nach unten geöffnet ist, also entsprechend entweder ein Maximum oder ein Minimum hat und ob sie gestaucht oder aber gestreckt verläuft.
  • Eine solche Scheitelpunktsform lautet allgemein: f(x) = ax² + (x-d)² + e. Den Scheitelpunkt können Sie den Werten für x und e entnehmen, denn dieser ist entsprechend S (x|e).
  • a gibt Auskunft über den Verlauf der Parabel. Ist a>0, dann ist die Parabel nach oben geöffnet und hat ein Minimum. Ist a<0, hat die Parabel ein Maximum und ist entsprechend nach unten geöffnet.
  • Ist der Betrag von a (|a|) genau 1, dann handelt es sich um eine Normalparabel. Diese ist jedoch gestaucht, wenn |a| < 1 ist. Andersherum handelt es sich um eine gestreckte Parabel, wenn |a|>1 lautet.

Den Funktionsterm korrekt umformen

Da Sie bei einer einfachen quadratischen Gleichung den Scheitelpunkt nicht direkt bestimmen können, ist es notwendig, dass Sie den Funktionsterm in die Scheitelpunktform umformen. Hierfür sind einige Rechenschritte notwendig.

  1. Nehmen Sie zunächst die Grundform einer quadratischen Gleichung und setzen für a=2, b=4 und c=6. Sie erhalten also aus f(x) = ax² + bx + c folgenden Funktionsterm: f(x) = 2x² + 4x + 6.
  2. Um diesen Term umformen zu können, müssen Sie zunächst die 2 ausklammern, der Funktionsterm lautet dann: f(x) = 2 (x² + 2x + 3).
  3. Nun müssen Sie den Term quadratisch ergänzen. Das Ergebnis der quadratischen Ergänzung lautet dann: f(x)=2(x²+2x+1-1+3).
  4. Jetzt können Sie den Term teilweise in eine binomische Form umformen, um zur Scheitelpunktfunktion zu gelangen: f(x)=2[(x+1)²+2]. Hierbei handelt es sich bei (x+1)² um die 1. binomische Formel.
  5. Nun müssen Sie den Funktionsterm noch ausmultiplizieren, dann haben Sie die benötigte Scheitelpunktform endgültig durch Umformen und Ergänzen erreicht: f(x)=2(x+1)² + 4. Der Scheitelpunkt S liegt bei dieser Funktion genau bei S(-1|4).
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