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In Mathematik Formeln geschickt umstellen - die Matheexpertin erklärt, wird's gemacht wird

Nicht nur in der Schulmathematik, auch im Studium und im Beruf werden Sie immer mal wieder Formeln nach gesuchten Unbekannten umstellen müssen. Hierzu gibt es grundsätzliche Tipps, aber auch Tricks. Und einige knifflige Umstellungen werden ausführlich gezeigt.

Die Formel für die Fliehkraft
Die Formel für die Fliehkraft © Karl-Heinz_Laube / Pixelio

Was Sie benötigen:

  • eigentlich nur Zeit und Interesse
  • und: Grundkenntnisse zu den jeweiligen mathematischen Gebieten

In der Mathematik Formeln umstellen - grundlegende Tipps

  • Viele Formeln, die Ihnen in der Mathematik, aber auch in anderen Wissenschaften begegnen, enthalten nicht nur die zu berechnende Unbekannte, sondern oft weitere Größen, für die Sie Zahlenwerte einsetzen müssen.
  • In einigen Fällen jedoch müssen diese Formeln so umgestellt werden, damit eine Größe auf der rechten Seite der Ausgangsformel berechnet werden kann. Grob gesagt kennt man in diesem Fall das Ergebnis der Formel, sucht jedoch einen der Ausgangswerte.
  • Das Umstellen solcher Formeln läuft immer darauf hinaus, dass Sie eine "Buchstabenrechnung" durchführen müssen, ein Vorgang, der nicht immer geläufig ist. In diesem Fall ersetzen ja die Buchstaben aus der Formel irgendwelche Zahlenwerte.
  • Da es den meisten leichter fällt, eine x-Rechnung durchzuführen, sollten Sie gedanklich (und vielleicht sogar beim Rechnen wirklich) die gesuchte Unbekannte aus der Formel zunächst mit "x" bezeichnen. So wird beispielsweise aus s = 1/2 gt² die Gleichung s = 1/2 gx², wenn Sie beispielsweise nach der Zeit "t" umstellen wollen. So sieht die Rechnung doch gleich viel einfacher aus und Sie wissen, was berechnet werden soll. Vergessen dürfen Sie allerdings nicht, dass Sie das "x" am Ende der Rechnung wieder ersetzen.
  • Die Idee beim Umformen von Mathematikformeln ist, dass man die Unbekannte "x" mithilfe der bekannten algebraischen Regeln isoliert. Im einfachsten Fall wenden Sie die mathematische Gegenoperation an. Im genannten Beispiel s = 1/2 gx² multiplizieren Sie die Gleichung mit 2 und erhalten 2s = gx². Nun teilen Sie durch die Erdbeschleunigung g (eine Konstante) und erhalten 2s/g = x². Die Gegenoperation zum Quadrieren ist das Wurzelziehen, das Sie nun anwenden. Sie erhalten schließlich  Wurzel (2s/g) = x und (durch Rückeinsetzen) t = Wurzel (2s/g). 

Knifflige Umformungen - diese Tricks sollten Sie kennen

Leider sind nicht alle Formeln so einfach wie das oben diskutierte Weg-Zeit-Gesetz. Darum sollen einige Beispiele für etwas kniffligere Umformungen ausführlich gezeigt werden, auch wenn das Thema hier natürlich nicht erschöpfend behandelt werden kann.

  • Die Unbekannte, an die Sie heranwollen, kann beispielsweise in unterschiedlicher Potenz vorkommen: s = 1/2 at² + vt. Soll diese Formel wieder nach der Zeit "t" aufgelöst werden, setzen Sie als Hilfe zunächst wieder x ein und erhalten: s = 1/2ax² + vx. Es handelt sich also um eine quadratische Gleichung, die förmlich nach der pq-Formel "schreit". Sie bringen Sie auf die Form 1/2ax² + vx - s = 0 und dann (: 1/2a) auf x² + 2v/a*x - 2s/a = 0. In diesem Fall ist p = 2v/a und q = - 2s/a. Und weiter geht es nach der Formel!
  • Die Unbekannte kann auch in einer Hochzahl vorkommen: n = a * ekt, die Formel für exponentielles Wachstum. Soll die Wachstumskonstante k berechnet werden, müssen Sie also an die Hochzahl heran. Zunächst teilen Sie durch a und erhalten n/a = ekt. Nun arbeiten Sie mit der Gegenoperation zum Potenzieren, dies ist der natürliche Logarithmus (der übrigens auch die Frage nach der Hochzahl beantwortet). Logarithmieren Sie also beide Seiten der Gleichung ln (n/a) = ln (ekt). Dies ist allerdings nur möglich, wenn links und rechts ein geschlossener Ausdruck steht. Sie lösen auf: ln (n/a) = kt und erhalten k = ln (n/a)/k.
  • Sollte die zu bestimmende Unbekannte in einem Wurzelausdruck vorkommen, so isolieren Sie diesen zunächst auf einer Seite der Gleichung und quadrieren bzw. potenzieren dann.
  • Sollte die Unbekannte in einer trigonometrischen Funktion (sin, cos, tan) stecken, so isolieren Sie diesen Ausdruck ebenfalls und bilden dann den INV Sin bzw. sin-1.
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