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Flächendiagonale im Quadrat berechnen - so geht's

Die Flächendiagonale zu berechnen, ist eine leicht zu bewältigende Aufgabe aus der Mathematik. Man braucht nicht mehr als den Satz des Pythagoras.

Man benötigt den Satz des Pythagoras.
Man benötigt den Satz des Pythagoras. © heinz dahlmanns / Pixelio

Was Sie benötigen:

  • Papier, Bleistift
  • Taschenrechner
  • Satz des Pythagoras
  • etwas Zeit und Geduld

Flächendiagonale berechnen - so geht es im Quadrat

  • Bei einem Quadrat sind alle vier Seiten a gleichlang, beispielsweise a = 3 cm. Zudem stehen alle vier Seiten eines Quadrates senkrecht aufeinander, sie bilden einen rechten Winkel.
  • Jedes Quadrat hat zwei Flächendiagonalen, die jedoch wegen der gleichlangen Seiten ebenfalls gleichlang sind. Bei einer Diagonalen verbinden Sie jeweils die gegenüberliegenden Ecken des Quadrats. Man sieht sofort, dass die Flächendiagonalen länger als die Seiten des Quadrates sind. Durch die Diagonalen "zerfällt" das Quadrat in zwei Dreiecke, die gleichschenklig sind und als Spitzenwinkel 90° einschließen. In diesen Dreiecken gilt demzufolge der Satz des Pythagoras (der nur für rechtwinklige Dreiecke gilt!). 
  • Addieren Sie die beiden Kathetenquadrate, so ergibt sich das Hypotenusenquadrat, besser bekannt als a² + b² = c². Sie wenden den Satz für die Berechnung der Flächendiagonalen an. Dabei nehmen Sie die Diagonale d in diesem Fall als Hypotenuse (längste Seite des Dreiecks und dem rechten Winkel gegenüber).
  • Die beiden Schenkel sind gleich und entsprechen der Seitenlänge a des Quadrats. Somit berechnen Sie: a² + a² = d² oder 2 a² = d². Diese quadratische Gleichung können Sie für die Flächendiagonale d lösen: Sie ziehen einfach die Wurzel (Taschenrechner).

Flächendiagonale - Beispiel und allgemeine Formel

  • Es sei wieder das oben genannte Beispielquadrat mit a = 3 cm verwendet.
  • Sie berechnen: a² = 9 und 2 a² = 18. Also erhalten Sie d² = 18 und d = 4,24 cm.
  • Allgemein berechnen Sie (ohne Einsetzen der Zahlen): d = Wurzel (2 a²) = a * Wurzel (2) = a * 1,41 (wenn Sie auf zwei Stellen hinter dem Komma runden).

Sie können also entweder - wie im Beispiel - die Zahlen direkt einsetzen oder die obige Formel benutzen.

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