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Einen Drehkegel-Öffnungswinkel berechnen - so geht's

Alle Drehkegel haben an ihrem oberen Ende einen Öffnungswinkel, der als Maß dafür angesehen werden kann, wie spitz oder breit der Drehkegel ist. Dieser Winkel lässt sich aus gegebenen Größen des Kegels leicht berechnen.

Welchen Öffnungswinkel hat dieser Kegel?
Welchen Öffnungswinkel hat dieser Kegel?

Was Sie benötigen:

  • Geodreieck oder anderes Dreieck aus Pappe oder Kunststoff
  • Bleistift und Papier
  • evtl. Taschenrechner

Öffnungswinkel beim Drehkegel - das sollten Sie wissen

  • Machen Sie sich zunächst einmal eine Vorstellung, wie so ein Drehkegel entstanden sein könnte: Nehmen Sie Ihr Geodreieck (oder ersatzweise jedes andere Dreieck) und stellen Sie dieses aufrecht auf den Tisch, sodass eine Seite des Dreiecks auf der Tischplatte plan aufliegt (nicht die Spitze!).
  • Nun drehen Sie dieses Dreieck mit der aufliegenden Seite einmal um die aufrechte Dreiecksseite herum - es entsteht als gedachte Figur ein Drehkegel.
  • Dieser Drehkegel ist umso spitzer, je kleiner der Winkel an seiner Spitze ist und umso breiter, je größer dieser Winkel ist. Letztendlich bestimmt also der obere Winkel des gedrehten Dreiecks die Öffnung des Kegels. Dieser Winkel wird daher Öffnungswinkel genannt.

So berechnen Sie den Öffnungswinkel

Nachdem Sie sich klar gemacht haben, dass in jedem Drehkegel eigentlich ein Dreieck steckt, ergeben sich die wichtigen Größen jeden Kegels aus diesem Dreieck, nämlich die Mantellänge s (die außen liegt), der Radius r des Kegels (der der drehenden Dreiecksseite und somit dem Kreisradius entspricht) sowie die Höhe h des Kegels (also dem Abstand zwischen Kreis und Spitze).

  • Der Öffnungswinkel (er sei alpha genannt) befindet sich nun in der oberen Spitze des Kegeldreiecks, und zwar zwischen Mantellänge s und Höhe h. Alpha liegt dem Radius r gegenüber.
  • Je nachdem, welche der anderen Größen s, h bzw. r Sie gegeben haben, können Sie mithilfe der trigonometrischen Funktionen den Öffnungswinkel alpha berechnen. Nötig sind immer zwei dieser drei Größen.
  • Sind h und r gegeben, berechnen Sie tan (alpha) = r/h
  • Sind h und s gegeben, berechnen Sie cos (alpha) = h/s
  • Sind r und s gegeben, berechnen Sie sind (alpha) = r/s.
  • Alpha ergibt sich mit dem Taschenrechner, indem Sie die trigonometrischen Funktionen invertieren (SIN-1 bzw. ARCSIN, je nach Modell.

Öffnungswinkel - ein durchgerechnetes Beispiel

Sie sollen für einen Kegel mit r = 3 cm und h = 5 cm den Öffnungswinkel berechnen.

  1. In diesem Fall benötigen Sie die Tangensfunktion (s.o.).
  2. Es gilt: tan (alpha) = 3/5 = 0,6
  3. Mit der inversen Tangensfunktion erhalten Sie: alpha = 30,96°.

Hinweis: Oft wird als Öffnungswinkel nicht der Winkel alpha angegeben, sondern sein Doppeltes, in diesem Fall also rund 62°.

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