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Kreissegment - Formel für Fläche

Ein Kreissegment ist ein Teil vom Kreis - man kann sich diese Fläche so vorstellen, als hätte man einfach ein Stück vom Kreis weggeschnitten, daher auch der weitere Name "Kreisabschnitt". Mit etwas Trick lässt sich die Flächenformel jedoch finden.

Kreissegmente entstehen durch Schnitte.
Kreissegmente entstehen durch Schnitte.

Was Sie benötigen:

  • Grundwissen Kreisberechnung

Kreissegment - Kurzinfo

  • Ein Kreissegment bzw. Kreisabschnitt kann auf zwei unterschiedliche Arten entstehen. Entweder man schneidet einem Kreis ein äußeres Stück einfach weg, sodass ein Flächenteil mit geradem Schnitt und Rundung entsteht. In der Mathematik wird die Schnittgerade auch Kreissekante genannt.
  • Oder man schneidet einem Tortenstück einfach den geraden Teil weg. Der Rest ist das Kreissegment.
  • Charakteristische Größen für solch eine geometrische Figur sind natürlich der Radius r des Kreises, aus dem das Segment geschnitten wurde, seine Höhe h (der Abstand der Rundung von der geraden Strecke) sowie der Öffnungswinkel α am Mittelpunkt des Kreises. Wahlweise kann auch die Streckenlänge s oder der Bogen b gegeben sein, denn diese Größen lassen sich mit den Winkelfunktionen ineinander umrechnen.

Formel für die Fläche - Herleitung

  • Neben der Bogenlänge b interessiert für viele Anwendungen in Technik oder Alltag natürlich die Fläche des Kreissegments. Diese Fläche entsteht, wenn man von der Fläche eines Kreisausschnitts (auch Sektor genannt) die Fläche des gleichschenkligen, inneren Dreiecks abzieht.
  • Der Kreissektor hat die Form eines Tortenstückes und seine Fläche ergibt sich aus dem Winkelverhältnis. Mit der Formel As = π r² * α/360°. Für α = 180° erhalten Sie beispielsweise einen Halbkreis als Sektor.
  • Die Dreiecksfläche berechnet sich nach der Formel "Grundseite x Höhe geteilt durch 2". Die Grundseite ist hier die Sehne s, die Höhe des Dreiecks beträgt r-h. Es gilt also Ad = s * (r - h)/2.
  • Als Fläche für den Kreisausschnitt erhalten Sie dementsprechend Ak = π r² * α/360 - s * (r - h)/2. Trickreiche Mathematiker werden feststellen, dass im ersten Teil dieser Formel der Bogen b steckt, und diese Formel dann in Ak = 1/2 * [r * b - s * (r - h)] umwandeln. Natürlich hängt es davon ab, welche Grundgrößen Sie bei der Aufgabe gegeben haben, mit welcher der beiden Formeln Sie arbeiten.
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