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Umlaufzeit berechnen für einen Satelliten - Anleitung

Unzählige Satelliten umkreisen die Erde in unterschiedlichen Abständen und mit unterschiedlichen Umlaufzeiten. Kennt man den Abstand eines Satelliten, kann man mithilfe physikalischer Prinzipien die Umlaufzeit leicht berechnen.

Satelliten umkreisen die Erde.
Satelliten umkreisen die Erde. © Dieter Schütz / Pixelio

Was Sie benötigen:

  • Papier und Bleistift
  • evtl. Taschenrechner
  • Formelsammlung
  • Grundkenntnisse der Mechanik
  • (Fliehkraft, Gravitationsgesetz)

Umlaufzeit berechnen - so klappt's im Kräftegleichgewicht

  1. Satelliten stürzen nur deshalb (meist) nicht vom Himmel, weil sie auf Ihrer Bahn ein einfaches Kräftegleichgewicht einhalten.
  2. Dort ist nämlich die Erdanziehungskraft genauso groß wie die Zentripetalkraft (besser bekannt als "Fliehkraft").
  3. Beide Kräfte lassen sich in einer Formelsammlung oder im Physikbuch nachschauen.
  4. Aus dieser Bilanz können Sie, wenn Sie den Abstand des Satelliten von der Erdoberfläche und den Radius der Erde einsetzen, die Geschwindigkeit des Satelliten ausrechnen.
  5. Auf jeder Bahn müssen Satelliten diese Geschwindigkeit einhalten, kleine Korrekturen sind nötig, vor allem auf niedrigen Umlaufbahnen durch die Luftreibung in der obersten Atmosphäre.
  6. Haben Sie nun diese Umlaufgeschwindigkeit für einen vorgegebenen Abstand ermittelt, können Sie die Umlaufzeit leicht berechnen. Sie ergibt sich aus dem Weg-Zeit-Gesetz für die (gleichförmige) Satellitenbewegung: s = v x t. Dabei ist die zurückgelegte Strecke s einfach der Kreisumfang für einen Umlauf, v die berechnete Geschwindigkeit und t die Umlaufzeit.
  7. Stellen Sie die obige Gleichung entsprechend um, erhalten Sie für die Umlaufzeit t = s/v.
  8. Beachten Sie, dass Sie sowohl Erde als auch Satellit in dieser Rechnung als Massenpunkte annehmen. Für den Abstand des Satelliten von der Erde müssen Sie also den Erdradius zum Abstand des Satelliten von der Erdoberfläche hinzuaddieren.
  9. Außerdem müssen Sie darauf achten, dass Sie die Einheiten in Ihrer Rechnung korrekt wählen, also für Wegstrecken am besten Meter, für Geschwindigkeiten m/s. So ergibt sich die Umlaufzeit in Sekunden.

Satellitenumlauf - ein durchgerechnetes Beispiel

  1. Für das Kräftegleichgewicht gilt: Gravitationskraft = Zentrifugalkraft
  2. Aus der Formelsammlung entnehmen Sie: G x (mErde xmSat)/r2 = mSat x v2/r. Dabei ist mErde = 6 x 1024 kg die Masse der Erde, der Radius der Erde beträgt 6350 km = 6,35 x 106 m und die Gravitationskonstante G = 6,67 x 10-11 m³/(kg s"). r ist Flughöhe des Satelliten + Erdradius.
  3. Nehmen Sie für den Satelliten in diesem Beispiel eine Flughöhe von 200 km an, so beträgt r = 6,55 x 106 m.
  4. Nun setzen Sie die Werte in die obige Kräftebilanz ein. Die Masse des Satelliten fällt in dieser Bilanz, da Sie auf beiden Seiten der Gleichung steht, heraus.
  5. Die Umlaufgeschwindigkeit v des Satelliten bleibt als Unbekannte und Sie können Sie berechnen. 
  6. Für das Beispiel erhalten Sie: v = Wurzel (G x mErde/r) = 7817 m/s
  7. Als nächstes berechnen Sie die Weglänge s = 2 x Pi x r = 4,12 x 107 m, also rund 40 Mio Meter.
  8. Und die Umlaufzeit errechnen Sie dann: t = s/v= 5270 s = 87,8 min, also rund 1 1/2 Stunden.
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