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Dreieckszahl - einfach erklärt

Dreieckszahlen gehören in die Mathematik und verdeutlichen ein geometrisches Problem in der Ebene. Im Raum heißen diese Zahlen Pyramidenzahlen. Die folgende Anleitung zeigt Ihnen, wie Sie diese Zahlen bestimmen und sich praktisch vor Augen führen können.

Obsthändler kennen die Pyramidenzahlen.
Obsthändler kennen die Pyramidenzahlen. © Thomas_Max_Müller / Pixelio

Was Sie benötigen:

  • etwas Zeit und Geduld
  • Interesse für mathematische Spielereien
  • evtl. Äpfel oder Orangen

Dreieckszahlen - was ist das?

Dreieckszahlen können Sie sich am einfachsten veranschaulichen, wenn Sie von einem (gedachten) Punkt aus immer größere dreieckige Punkthaufen zeichnen.

  • Im ersten Schritt zeichnen Sie diesen Punkt. Im zweiten Schritt setzen Sie nun unter diesen Startpunkt zwei Punkte, sodass die Figur wie ein (gleichseitiges) Dreieck aussieht. Im nächsten, dem dritten Schritt werden drei Punkte darunter gesetzt, und im vierten Schritt dann vier. So lässt sich das Dreieck beliebig fortsetzen.
  • Dreieckszahlen sind nun die Summe an Punkten, aus denen sich diese Dreiecke zusammensetzen.
  • Lässt man den ersten Schritt (nur einen Punkt zeichnen) als Start beiseite, so ergibt sich beim zweiten Schritt die erste Dreieckszahl, nämlich 1 + 2 = 3.
  • Beim dritten Schritt erhalten Sie die Dreieckszahl 1 + 2 + 3 = 6, als Nächstes erhalten Sie 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
  • Letztendlich sind diese Dreieckszahlen nichts anderes als die Summe der natürlichen Zahlen bis zu einer gewählten Zahl "n", im letzten Fall war n = 4.
  • Eine praktische Anwendung der Dreieckszahlen (außer in der Zahlentheorie) ist das Ausrechnen, wie häufig Gäste auf einer Feier miteinander anstoßen: Wenn sich beispielsweise fünf Leute treffen und jeder will mit jedem anstoßen, dann "klingelt" es genau 10-mal, die Dreieckszahl zu 4. Denn: Der Erste stößt mit vier Leuten an, der zweite mit drei Gästen, der dritte mit zwei und der letzte nur noch mit einem Gast.

Pyramidenzahlen - auf ins Dreidimensionale

  • Die Dreieckszahlen ergeben sich aus einem geometrischen Problem in der Ebene.
  • Mit Pyramidenzahlen gelingt Ihnen eine ganz ähnliche Aufgabe im dreidimensionalen Raum.
  • Dabei bauen Sie eine dreiseitige Pyramide (auch als Tetraeder bekannt).
  • Sie starten im ersten Schritt beispielsweise mit einem Apfel oder einer Orange.
  • Im zweiten Schritt unterbauen Sie diesen - und jetzt wird es wirklich eine Pyramide - mit drei weiteren Äpfeln als Eckpunkte. Die erste Pyramidenzahl ist also 1 + 3 = 4.
  • Im nächsten Schritt erhöhen Sie die Anzahl der Äpfel pro Pyramidenkante um einen. Für diese Etage benötigen Sie 6 Äpfel. Daher lautet die nächste Pyramidenzahl 1 + 3 + 6 = 10.
  • Auch dieser Pyramidenaufbau lässt sich natürlich beliebig fortsetzen, allerdings gelingt hier der Aufbau nur von unten. Auch müssen Sie die Äpfel oder Orangen natürlich immer in die entstehenden Lücken setzen - aber das haben Obsthändler schon immer verkaufsfördernd gewusst und eingesetzt.
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