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Lineare Gleichungen nach x auflösen

  • Bei dieser Sorte Gleichungen begegnet Ihnen in der Schulmathematik zum ersten Mal die Unbekannte "x", die Sie anhand einer Gleichung berechnen sollen.
  • Ein einfachstes Beispiel dieser Art wäre: 3x + 7 = 22. In dieser Gleichung kommt die Unbekannte nur als einfaches "x" vor, kein Quadrat, keine Wurzel oder ähnliche hässliche Sachen.
  • Eine solche Gleichung kann man sich gut als Balkenwaage mit zwei Waagschalen vorstellen, die (durch das Ist-Zeichen) sich im Gleichgewicht befindet. In unserem Beispiel sind in der linken Waagschale 3 Pakete unbekannten Gewichts x, zusätzlich 7 kg. In der rechten Waagschale befinden sich 22 kg. Sie sollen herausfinden, wie viel jedes dieser unbekannten Pakete wiegt.
  • Zunächst nehmen Sie auf beiden Seiten 7 kg weg. Mathematisch rechnen Sie - 7 oder salopp gesagt: Die "7" von links wird mit -7 nach rechts gebracht. Die neue Gleichung lautet dann: 3x = 22 - 7, also 3x = 15
  • Wenn 3 Pakete 15 kg wiegen, dann wiegt 1 Paket 15 : 3 = 5 kg. Sie müssen also die Gleichung noch auf beiden Seiten durch "3" teilen:und erhalten so: x = 5. Eigentlich einfach bis hierher.
  • Schwieriger wird der Fall, wenn die Unbekannte "x" häufiger auftritt, hier ein Beispiel: 7x - 5 = 2x + 8. In diesem Fall befinden sich die unbekannten Pakete sowohl in der linken als auch in der rechten Waagschale.
  • Aber auch dieser Fall lässt sich durch Umschichten von Paketen und Gewichten leicht lösen. Zunächst nehmen Sie auf beiden Seiten 2 unbekannte Pakete (2x) weg. Man erhält: 5x + 5 = 8. Und diese Gleichung können Sie dann wie oben beschrieben lösen: 5x = 3 und x= 3/5 bzw. 0,6
  • Haben Sie die Unbekannte x in noch komplizierteren Fällen vorliegen, müssen Sie die Gleichung zunächst ordnen. Ein Beispiel: 7x + 15 - 3x = 8x - 1 + 2x - 17. Hier werden zunächst die linke und rechte Seite soweit möglich zusammengefasst, also die Unbekannten und die Zahlen. Man erhält: 4x + 15 = 10x - 18. Diesen Fall kennen Sie schon.
  • Noch "schlimmer" wird es, wenn auch noch Klammern auftauchen. Hier ein Beispiel: 2(x + 1) = 15x - 3(x-2). Auch hier gilt: Ruhe bewahren und nach einem Schema arbeiten: 1. Klammern auflösen, 2. Zahlen und Unbekannte links und rechts zusammenfassen, 3. die Gleichung wie oben lösen.
  • Klammern auflösen: 2x + 2 = 15x - 3x + 6 (auf die Vorzeichen vor der Klammer achten, es ergibt sich +6!)
  • Zusammenfassen: 2x +2 = 12 x + 6
  • Die Gleichung auflösen: -10x + 2 = 6 (12x auf beiden Seiten wegnehmen!), dann -10x = 4 (2 wegnehmen), dann x = 4 : (-10) = -0,4 (auf das Vorzeichen achten!).
  • Wenn das System klar ist, hilft üben! Denn verstehen heißt nicht, dass man es sofort perfekt beherrscht.