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Schnittpunkte ohne Polynomdivision bestimmen? - Zu beachten

Autor: Oliver Alraun

In der Schule wird häufig die Frage nach den Schnittpunkten zweier Graphen gestellt. Um Schnittpunkte ohne Polynomdivision zu berechnen gibt es noch ein einfacheres Verfahren, was im Unterricht aber meist nicht einmal besprochen wird.

Die Zahlen verstehen
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Berechnung der Schnittpunkte zweier Geraden ohne Polynomdivision

  • Die Berechnung der Schnittpunkte zweier Geraden gelingt nur ohne Polynomdivision, da diese hier nicht nötig ist. Stattdessen setzen Sie einfach die beiden Geraden gleich und lösen nach der unbekannten Variable auf.
  • Das Ergebnis ist aber meist nur die Lösung für den x Wert des Schnittpunktes. Um die y Koordinate des Schnittpunktes zu bestimmen, setzen Sie den berechneten x Wert in eine der beiden Geradengleichungen ein und lösen Sie nach y auf.

Berechnung der Schnittpunkte von Polynomen des Grades n

  1. Da die Polynomdivision ein sehr aufwändiges Verfahren ist, kann für die Berechnung von Schnittpunkten auch einfach das Horner-Schema verwendet werden. Zeichnen Sie zuerst eine Tabelle mit drei Spalten auf das Papier. Dann setzen Sie Ihre beiden Polynome gleich und bringen alles auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite der Gleichung Null steht. Fassen Sie gleiche Potenzen zusammen und ordnen Sie die Gleichung nach absteigender Potenz.
  2. Erraten Sie eine Nullstelle der Gleichung. In der Schule ist dies häufig eine Zahl, die durch den letzten Koeffizient ohne ein nachfolgendes x teilbar ist. Schreiben Sie diese Nullstelle in die unterste Spalte der Tabelle an den linken Rand und trennen Sie die Spalte durch einen senkrechten Strich ab.
  3. In die oberste Zeile rechts neben dem Strich schreiben Sie alle x-Potenzen der Reihe nach auf. Darunter schreiben Sie jeweils den zugehörigen Koeffizienten. Steht vor einem x  keine Zahl, so ist der Koeffizient 1. Beachten Sie dabei auch das Vorzeichen. Trennen Sie die x-Potenzen mit ihren Koeffizienten durch senkrechte Striche voneinander ab und schreiben Sie neben den letzten Koeffizienten die Zahl Null.
  4. Das Horner-Schema sagt, dass Sie den ersten Koeffizienten eine Spalte weiter rechts unter den zweiten Koeffizienten schreiben müssen. Die Zelle unter dem ersten Koeffizienten bleibt leer. Die eben aufgeschriebene Zahl multiplizieren Sie jetzt mit der erratenen Nullstelle und addieren das Ergebnis zu dem darüberstehenden Koeffizienten. Das Ergebnis notieren Sie in der untersten Zeile neben dem letzten Ergebnis und führen diesen Schritt durch, bis Sie am Ende der Tabelle angekommen sind.
  5. Schreiben Sie die Koeffizienten der letzten Zeile der Reihe nach mit den zugehörigen x-Potenzen auf. Sie erhalten so das gleiche Ergebnis wie bei einer aufwändigen Polynomdivision. Wenn Sie auf ein Ergebnis kommen, dessen Grad höher als 2 ist, können Sie das Horner-Schema erneut mit dem Ergebnis ausführen. Ansonst erhalten Sie die Lösungen, indem Sie die Lösungsformel benutzen. Diese lautet: x1= (-b+WURZEL(b^2-4ac))/(2*a); x2= (-b-WURZEL(b^2-4ac))/(2*a). Die Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge entsprechen dabei den Koeffizienten eines Polynoms zweiten Grades.
  6. Damit haben Sie aber erst die x Werte des Schnittpunktes berechnet. Setzen Sie die Ergebnisse der Reihe nach in eines der Polynome ein. So erhalten Sie jeweils den zugehörigen y Wert und damit die vollständigen Schnittpunkte.
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