Parabeln und Übungen - die Bestimmung der Schnittpunkte von zwei Parabeln geht so

So ermitteln Sie den Schnittpunkt zweier Parabeln

Um den Schnittpunkt von zwei Parabeln zu ermitteln, gibt es mehrere Möglichkeiten. Die eine besteht darin, den gesuchten Punkt mathematisch zu bestimmen:

1. Sie haben die zwei Funktionsgleichungen der Parabeln vor sich. Beispielsweise könnten das sein:
   f(x) = 2x² 1 und g(x) = x² + 2
2. Nachdem Sie die Position des Punktes bzw. der Punkte ermitteln wollen, an denen sich die beiden Funktionen treffen, sofern sie überhaupt einen Schnittpunkt haben, müssen Sie die beiden gleichsetzen: f(x) = g(x)
3. Nun setzten Sie die zwei Funktionstherme ein, im Beispiel sieht das wie folgt aus:
   2x² + 1 = x² + 2
4. Nun lösen Sie die Gleichung einfach auf:
   2x² + 1 = x² + 2 | -1
   2x² = x² + 1 | -x²
   x² = + 1
   Um x zu ermitteln, müssen Sie in diesem Fall die Wurzel ziehen. Das Ergebnis kann entweder positiv oder negativ sein, es sieht demnach so aus:
   x₁ = +1, x₂ = -1


Randfunktion berechnen

Auch in der Mathematik geht nicht immer alles glatt: Vor allem Flächen haben nicht immer gerade …

5. Sie haben nun den x-Wert ermittelt, der sowohl in der ersten als auch in der zweiten Funktion den gleichen y-Wert ergeben sollte. Testen Sie das nun aus, indem Sie den x-Wert einfach einsetzen.
   f(x) = 2x² + 1 ---> f(1) = 2*1² + 1 = 3
   g(x) = x² + 2 ---> g(1) = 1² + 2 = 3
   Die beiden Ergebnisse stimmen überein, Schnittpunkt 1 ist also bei S₁(1/3).
   Wenn Sie gleiche Vorgehensweise bei x2 durchführen, so erhalten Sie den zweiten Schnittpunkt: S₂(-1/3)

Die beiden Schnittpunkte sind ermittelt, die Funktionsgraphen f(x) und g(x) schneiden sich zweimal. Das muss aber nicht immer der Fall sein. Es kann ebenso vorkommen, dass sie keinen gemeinsamen Punkt haben bzw. dass sie sich nur an einem Punkt treffen. Um unnötiges Weiterrechnen zu vermeiden, sollten Sie daher sicherstellen, dass Sie die Auflösung der Gleichsetzung (Punkt 2 und 3) richtig gemacht haben: Lässt sich die Gleichung nicht lösen, so gibt es keinen gemeinsamen Punkt.

Übungen zu Parabeln

• Wenn Sie das Grundprinzip verstanden haben, werden Ihnen die Übungen, die sich auf Schnittpunkte von Parabeln beziehen, nicht mehr schwerfallen. Sie müssen nur nachvollziehen können, warum Sie die beiden Funktionen gleichsetzen müssen.
• Wenn Sie sich anfangs noch unsicher sind, können Sie statt der mathematischen Ermittlung die zeichnerische Lösung zu Hilfe nehmen. Dabei zeichnen Sie die beiden Parabeln einfach und können die Schnittpunkte einfach ablesen.
• Wie bei allen Aufgaben der Mathematik gilt eines: Übungen machen den Meister. Stellen Sie sich einige Parabelgleichungen auf und kombinieren Sie diese quer durcheinander. Mit der Zeit erlangen Sie die benötigte Routine.

Das Prinzip der Gleichsetzung funktioniert nicht nur bei Parabeln, sondern auch bei vielen anderen Funktionen, wie zum Beispiel Geraden.