Alle Kategorien
Suche

Kurvendiskussion - die Aufgaben nach einem Schema lösen

Autor: Roswitha Gladel

Die Aufgaben zur Kurvendiskussion sind eigentlich nicht schwer, Sie beinhalten nur sehr viele Unterpunkte, die von Schülern gerne vergessen werden. Das ist schade, denn oft sind es Kleinigkeiten, die dann zum Punktabzug führen. Gehen Sie deshalb immer stur nach einem Schema vor.

Zur Kurvendiskussion gehört auch der Graph.
Zur Kurvendiskussion gehört auch der Graph.

Schema für die Kurvendiskussion

Diese Punkte sollten Sie bei Aufgaben zur Kurvendiskussion alle einen nach dem anderen Abarbeiten.

  1. Symmetrie: Überlegungen zur Symmetrie beruhen immer darauf, wie sich der Funktionswert f(x) ändert, wenn statt x ein -x eingesetzt wird. Ist f(x)  = f(-x) dann liegt Achsensymmetrie zur x-Achse vor, ist f(-x) = - f(x) dann liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor. Beispiel f(x) = x2  f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) oder f(x) = x3 f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x).
  2. Verhalten im Unendlichen: Prüfen Sie immer lim f(x) für x gegen plus und für x gegen minus unendlich. Merken Sie sich. Steht das x im Nenner geht der Wert gegen 0, denn ein großer Nenner bedeutet fast 0. Steht x im Zähler oder gibt es keinen Nenner, dann bewegt sich die Kurve gegen plus unendlich, wenn die höchste Potenz von x eine grade Zahl ist und gegen minus unendlich, denn diese eine ungerade Zahl ist. Wenn Sie sich nicht ganz sicher sind, setzen Sie für x einmal 100 und einmal 100.000 ein. Berechnen Sie den Funktionswert, dann erkennen Sie das Verhalten im Unendlichen meistens. Das ist zwar nicht mathematisch exakt, aber es hilft.
  3. Schnittpunkt mit der y-Achse: Das ist meistens so einfach, dass es fast immer vergessen wird, kostet Sie aber einen Punkt. Sie müssen nur f(0) berechnen. Das ist extrem leicht. Bei Polynomen entspricht dieser der Zahl, bei der keine Variable steht (absolutes Glied).
  4. Nullstellen: Hier müssen Sie ausrechnen, bei welchem Wert von x der Funktionswert 0 ist. Das kann bei Polynomen höheren Grades etwas kompliziert sein. Zur Not stellen Sie den Punkt zurück. Bearbeiten Sie diesen aber spätestens, wenn Sie die Zeichnung haben.
  5. Ableitungen: Berechnen Sie immer die erste, zweite und die dritte Ableitung. Die Regeln sind je nach Funktionsgleichung verschieden. Üben Sie konsequent das Bilden der Ableitungen, dann ist das kein Problem.
  6. Extrempunkte berechnen: Setzen Sie die erste Ableitung gleich 0 und berechnen Sie, für welchen der x-Werte ein Extrempunkt vorliegen kann. Das ist die notwendige Bedingung. Nun setzen Sie die erhaltenen Werte in die 2. Ableitung ein. Diese darf an dieser Stelle nicht 0 sein (hinreichende Bedingung). Ist die zweite Ableitung kleiner als 0, denn haben Sie einen Hochpunkt, ist sie größer als 0 liegt ein Tiefpunkt vor. Berechnen Sie nun auch f(x) an der jeweiligen Stelle, denn Sie brauchen auch den y-Wert der Punkte. Ist auch die zweite Ableitung 0, dann haben Sie einen Sattelpunkt.
  7. Wendepunkt berechnen: Nun müssen Sie die 2. Ableitung gleich 0 setzen und die entsprechenden x-Werte bestimmen. In dem Fall darf die 3. Ableitung nicht 0 sein. Ist diese größer 0, dann haben Sie eine Änderung der Krümmung von rechts nach links, ist sie kleiner als 0, eine von links nach rechts. Setzen die die x-Werte auch in f(x) ein.
  8. Funktionsgraph: Zeichen Sie ein Koordinatensystem. Markieren Sie in diesem alle Punkte die Ihnen bekannt, sind, also die Nullstellen, den Schnittpunkt mit der y-Achse, die Hoch- und die Tiefpunkte und den Wendepunkt. Skizzieren Sie den Verlauf des Funktionsgraphen.
  9. Nun wird es noch mal etwas weniger mathematisch, es hilft aber, die Klippen zu meistern. Wenn Sie die Nullstellen nicht heraus bekommen haben, dürfte es anhand der Zeichnung nicht schwer sein, diese abzuschätzen. Schätzen Sie die Werte und überprüfen Sie diese durch Rechnung.
  10. Falls Sie die Änderung der Krümmung nicht herausbekommen haben, weil Sie vergessen haben, was f'''(x) > 0 bedeutet. Fahren Sie mit dem Finger den Funktionsgraphen von der negativen Seite der x-Wert zur Positiven nach. Stellen Sie sich vor, es wäre ein kleines Auto und wie die Räder eingeschlagen werden müssen. Wenn Sie an einen Hochpunkt kommen, sehen Sie ganz deutlich, dass Sie nach rechts lenken müssen, bei dem Tiefpunkt nach links. Also müssen Sie an dem Wendepunkt, der dazwischen liegt, von rechts nach links lenken. Diese Überlegungen können sehr hilfreich sein.

Klippen an Aufgaben umschiffen

Es gibt bei den Aufgaben zur Kurvendiskussion immer Situationen, bei denen Fehler vorprogrammiert sind. Diese sollten Sie kennen, dann vermeiden Sie diese:

  • Sie erkennen auf Anhieb, dass keine Symmetrie vorliegt, weil eine Kurve vielleicht im negativen Bereich nicht definiert ist. Schreiben Sie immer hin, dass keine Symmetrie vorliegt, denn nur dann zeigen Sie, dass Sie dies erkannt haben.
  • Das gilt für das Verhalten im Unendlichen. Wenn eine Kurve nur im positiven Bereich definiert ist, zum Beispiel Wurzel von x, dann müssen Sie erwähnen, dass es keinen lim f(x) für x gegen minus unendlich gibt.
  • Wenn Sie keinen Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen können, weil x zum Beispiel bei f(x) = 1/x nicht 0 werden kann, dann müssen Sie das erwähnen. In dem Fall müssen Sie einen lim (f(x) für x-> 0 berechnen.
  • Vergessen Sie nicht f(x) für die Extrema und den Wendepunkt zu berechnen.

Wenn Sie diese Ratschläge beachten, sind Aufgaben zur Kurvendiskussion kein Problem.

Weiterlesen:
Teilen: