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Exponentielle Gleichung - so wird sie gelöst

Sie benötigen einen (wissenschaftlichen) Taschenrechner.
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Unter einer exponentiellen Gleichung versteht man eine Gleichung, in der die Unbekannte (meist "x" genannt) im Exponenten steht. Nicht alle derartigen Gleichungen sind lösbar, allerdings kann man in vielen Fällen die gesuchte Hochzahl elegant berechnen.

Was Sie benötigen:

  • Grundkenntnisse Exponenten und Logarithmus
  • Taschenrechner

Was ist eine exponentielle Gleichung?

  • Bei einer exponentiellen Gleichung oder (einfacher) Exponentialgleichung steht die gesuchte Größe "x" im Exponenten zu einer (beliebigen) Basis. Sie suchen also als Lösung dieser Gleichung den Wert der Hochzahl.
  • Ein einfaches Beispiel für eine exponentielle Gleichung ist 10x = 7, das man durch Logarithmieren (siehe unten) leicht lösen kann. Komplizierter wird die Sache im Fall 2x-1 = 3x.
  • Einige Exponentialgleichungen, in denen die Unbekannte x zusätzlich als additiver Term vorkommt, sind mit den üblichen Methoden nicht lösbar. Hierzu gehört das Beispiel 2x-1 + x = x², das nur mit Näherungsmethoden angegangen werden kann.

Tipps für Exponentialgleichungen

  • Die meisten Exponentialgleichungen lassen sich durch Logarithmieren, also dem Anwenden der Logarithmusfunktion, der gesamten Gleichung gut lösen.
  • Bevor Sie diesen Tipp jedoch anwenden, sollten Sie unbedingt dafür sorgen, dass Sie sowohl links als auch rechts des Gleichheitszeichens einen geschlossenen Term oder Ausdruck stehen haben. Es sollten also keine Summe oder Differenzen dort stehen, denn auf derartige Ausdrücke lassen sich die Logarithmengesetze nicht anwenden.
  • Verwenden Sie nach Belieben immer den Zehnerlogarithmus oder den natürlichen Logarithmus, vor allem, wenn Sie unterschiedliche Basiszahlen in den Gleichungen haben.
  • Zum Lösen der exponentiellen Gleichung nach dem Logarithmieren wenden Sie zur Vereinfachung dann die Gesetze des Logarithmus an (Produkte, Quotienten und Exponenten; siehe Beispiele unten).

Zwei Beispiele - ausführlich durchgerechnet

  • Das oben genannte einfache Beispiel 10x = 7 kann durch Anwendung des Zehnerlogarithmus lg auf beide Seiten der Gleichung wie folgt gelöst werden. Sie erhalten zunächst lg (10x ) = lg 7 und weiter x = lg 7 (Wert mit TR ermitteln), weil lg (10x) = x * lg 10 = x * 1 = x aufgelöst werden kann. 
  • Im Fall 2x-1 = 3x sind zwar beide Seiten der Gleichung in geschlossener Termform, es ist jedoch unklar, welcher Logarithmus gewählt werden soll (2-er oder 3-er?). Lassen Sie sich hier nicht beirren, wählen Sie ebenfalls den Zehnerlogarithmus lg (oder den natürlichen ln, falls Ihnen das lieber ist) und Sie erhalten lg (2x-1) = lg (3x). Nun lösen Sie nach den Logarithmengesetzen auf: (x-1) * lg 2 = x * lg 3. Sie lösen die Klammer links auf und erhalten x * lg 2 - lg 2 = x * lg 3. Fassen Sie jetzt die Terme mit der Unbekannten auf der linken Seite zusammen, die reine Zahlenterme kommen nach rechts: x * (lg 2- lg 3) = lg 3 bzw. x * lg 2/3 = lg 3. Hieraus lässt sich die Unbekannte x mit dem Taschenrechner berechnen.
helpster.de Autor:in
Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Dr. Hannelore Dittmar-IlgenHannelore hat Mathematik, Physik sowie Chemie und Pädagogik studiert und erklärt diese schwierigen Themenfelder schon immer gerne ihren Mitmenschen. Auch über ihre Hobbys schreibt sie leidenschaftlich gerne, das können unsere Leser in den Kategorien Essen & Trinken sowie Handarbeit entdecken. Sie ist eine unserer fleißigsten Autorinnen der ersten Stunde von HELPSTER.
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