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Der Gauß-Algorithmus linearer Gleichungssysteme einfach erklärt

Bei linearen Gleichungssystemen kann man schon einmal den Überblick verlieren!
Bei linearen Gleichungssystemen kann man schon einmal den Überblick verlieren!
Linearen Gleichungssystemen begegnen Sie zum ersten Mal in der Mittelstufe am Gymnasium. Von da an werden Sie immer wieder auf lineare Gleichungssysteme stoßen, sofern Sie sich für einen technischen Beruf entscheiden oder häufig mit mathematischen Problemstellungen konfrontiert werden. Zur einfachen und eindeutigen Lösung von Gleichungssystemen wird der Gauß-Algorithmus angewendet.

Was Sie benötigen:

  • Lösungsschema
  • mathematische Grundkenntnisse
  • Stift
  • Papier

Wissenswertes zu linearen Gleichungssystemen

Wenn Sie den Begriff "lineares Gleichungssystem" in die einzelnen Wortbestandteile zerpflücken, bekommen Sie schon eine einfache Vorstellung darüber, was ein LGS ist.

  • Ein LGS besteht aus mehreren linearen Gleichungen, in denen verschiedene zunächst unbekannte Parameter vorkommen. Linear bedeutet, dass die Parameter in keinen Potenzen beziehungsweise Wurzeln vorkommen. Beispielsweise kann die Gleichung x1+2x22 = 3 nicht Bestandteil eines linearen Gleichungssystems sein, da der Paramter x2 in der zweiten Potenz auftritt.
  • Die verschiedenen Gleichungen können durch Modellbildung aufgestellt werden oder sie sind in der Aufgabenstellung einfach gegeben. Ein Beispiel: In einer Lkw-Lieferung werden drei Teile (x1, x2, x3) angeliefert, die die Preise p1 = 1 Euro, p2 = 2 Euro und p3 = 3 Euro haben. Der Gesamtwert der Lieferung beträgt 1.000 Euro. Diese Informationen können in einer Gleichung zusammengefasst werden 1x1+2x2+3x3 = 1.000, wobei x1, x2 und x3 den zunächst unbekannten Mengen der drei Teile entsprechen.
  • Auf diese Weise lassen sich weitere Gleichungen aufstellen. Denkbar wäre in diesem Beispiel der Raumbedarf der Teile und der Rauminhalt eines Lkw.
  • Nachdem alle linearen Gleichungen aufgestellt wurden, geht es an die Lösung des LGS, also die Bestimmung der unbekannten Parameter x1, x2 und x3. Hier kommt der Gauß-Algorithmus ins Spiel, mit dem Sie das LGS nach einem fest definierten Schema Schritt für Schritt lösen können.
  • Für die Lösung eines linearen Gleichungssystems gibt es drei Möglichkeiten. Wenn Sie etwas geübter sind, werden Sie bereits vor dem Anwenden des Lösungsschemas sehen, ob ein LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen besitzt.
  • Das LGS mit den zwei Gleichungen x1+x2 = 1 und x1+2x2 = 1 besitzt beispielsweise keine Lösung, da beide Gleichungen nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Genau eine Lösung gibt es, wenn die Anzahl der unbekannten Parameter gleich der Anzahl der Gleichungen ist, kein Widerspruch vorliegt und alle Gleichungen (jeweils paarweise) linear unabhängig sind. Der Rang der dem LGS zugehörigen Matrix ist dann gerade gleich der Anzahl der Unbekannten. Ist der Rang kleiner, gibt es unendlich viele Lösungen (siehe Beispiel).

Beispiel zur Anwendung des Gauß-Algorithmus

  1. Durch Modellierung eines Problems haben Sie die drei Gleichungen 2x1+x2-3x3 = 6, x1-2x2-x3 = 2 und -4x1-2x2+6x3 = -12 aufgestellt.
  2. Diese drei Gleichungen schreiben Sie nun untereinander. Bei der Anwendungen des Gauß-Algorithmus eliminieren Sie nun nach und nach die Variablen. Sie wissen, dass sich durch elementare Zeilenumformungen der Lösungsraum nicht ändert.
  3. Nun schreiben Sie die erste Gleichung unverändert ab. Die zweite und dritte Gleichung multiplizieren Sie so, dass bei einer Addition zur ersten Zeile diese neuen Gleichungen kein x1 mehr enthalten. Sie multiplizieren die zweite Gleichung also mit -2 (wegen x1 in der zweiten Gleichung und 2x1 in der ersten Gleichung) und addieren sie zur ersten Zeile. Ebenso dividieren Sie die dritte Gleichung durch zwei und addieren sie zur ersten Gleichung.
  4. Im nächsten Schritt haben Sie zwei Gleichungen, in denen nur noch die Parameter x2 und x3 auftauchen. Schreiben Sie nun die zweite Gleichung ab und multiplizieren Sie die dritte Gleichung auf die Weise, dass bei einer Addition mit der zweiten Gleichung gerade x2 eliminiert wird. Hätten Sie weitere Gleichungen, so fahren Sie analog fort.
  5. In der letzten Gleichung haben Sie dann nur noch die Variable x3 stehen, die Sie nun bestimmen können. Durch Einsetzen des Ergebnisses in die anderen beiden Gleichungen erhalten Sie die Werte für x2 und x1.
  6. In diesem Beispiel tritt allerdings ein Sonderfall auf. Wenn Sie in Schritt 3 die dritte Gleichung mit 2 dividieren und zur ersten Gleichung addieren, erhalten Sie gerade 0x1+0x2+0x3 = 0. Dies hat einen einfachen Grund: Gleichung 1 und Gleichung 3 sind linear abhängig, denn die dritte Gleichung erhalten Sie, wenn Sie die erste Gleichung mit -2 multiplizieren.
  7. Sie können die Nullzeile streichen und wissen, dass der Rang nur 2 beträgt und das LGS unendlich viele Lösungen hat, sofern kein Widerspruch vorliegt.
  8. Nach Schritt 3 und 6 haben Sie also die beiden Gleichungen 2x1+x2-3x3 = 6 und 5x2-x3 = 2. Sie haben einen Freiheitsgrad. Geben Sie also x1 und x2 in Abhängigkeit von x3 an und Sie sind am Ziel.
  9. Aus der zweiten Gleichung folgt x2 = 2/5+1/5x3.
  10. Setzt man x2 in die erste Gleichung ein, so erhält man: 2x1+2/5+1/5x3-3x3 = 6. Auflösung nach x1 ergibt: x1 = 14/5+7/5x3.
  11. Der Lösungsraum lässt also durch L = {(14/5+7/5x3; 2/5+1/5x3; x3)} angeben. Es gibt unendlich viele Lösungen. Für x3 = 1 ergibt sich beispielsweise die Lösung (21/5; 3/5; 1). Zur Probe können Sie diese Lösung in die ursprünglichen Gleichungen einsetzen und werden feststellen, dass es sich bei dieser Lösung tatsächlich um eine Lösung des LGS handelt.

Führen Sie den Gauß-Algorithmus in weiteren Beispielen aus, um ihn zu verinnerlichen. Die Zahlenwerte können Sie sich selbst vorgeben.

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