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Wurzel mal Wurzel hebt sich auf - eine Erklärung

Auch Baumwurzeln sind manchmal etwas verworren.
Auch Baumwurzeln sind manchmal etwas verworren.
Eine Redewendung, die man als Rechenanweisung hört, ist, dass sich Wurzel mal Wurzel aufhebt. Aber stimmt das eigentlich und ist das immer so?

Wurzel mal Wurzel - die Regeln

Tatsächlich gibt es für die Multiplikation von Wurzeln einige Regeln, die Sie beim Umgang mit diesem algebraischen Thema beachten müssen:

  • Vielfach lassen sich bei Ausdrücken der Form "Wurzel mal Wurzel" die Multiplikationen durchführen. Dazu können Sie oft die entstandene Wurzel vereinfachen.
  • So gilt immer (!) die Regel √a * √b = √ a * b. Im Klartext: Sollen Sie zwei unterschiedliche Wurzeln multiplizieren, dann können Sie die beiden Wurzelinhalte (hier durch a und b symbolisiert) miteinander malnehmen und das Ergebnis unter eine gemeinsame Wurzel schreiben. Hier dürfen die Platzhalter a und b nicht nur Zahlen sein, sondern auch komplizierte algebraische Terme (wie die Beispiele unten zeigen).
  • Der Sonderfall, auf dem die Redewendung "Wurzel mal Wurzel hebt sich auf" beruht, tritt ein, wenn unter beiden Wurzelteilen der gleiche Term steht. Formell haben Sie eine Rechnung der Form √a * √a. Warum sich gerade hier die Wurzel aufhebt, zeigt sich, wenn Sie die Rechenregel anwenden. Sie erhalten √a * √a = √ a * a = √a² = a, denn Wurzelziehen und Quadrieren sind gegensätzliche Rechenoperationen und heben sich (umgangssprachlich formuliert) tatsächlich auf.

Die Wurzel "hebt sich auf"? - Beispiele

Die trockenen Rechenregeln sollen an Beispielen erläutert werden:

  • So gilt √3 * √3 = 3, weil √9 = 3. Hier heben sich die 
    Wurzeln auf. Und dies gilt auch für Aufgaben beispielsweise der Form √a-b * √a-b= a-b. Wichtig ist, dass es sich in beiden Fällen um die gleichen Inhalte der Wurzeln handelt, egal, wie diese mathematisch aussehen.
  • Bei der Aufgabe √3 * √7 = √21 gilt dies jedoch nicht. Sie haben unterschiedliche Wurzelinhalte; die Wurzel kann nicht weiter vereinfacht werden.
  • Im Beispiel √ab * √bc = √ab²c = b * √ac können Sie die Wurzel nach erfolgter Multiplikation teilweise ziehen, nämlich aus b².
  • Doch Vorsicht! Bei der Aufgabe √a+b * √a-b = √a² -b², die zunächst der dritten binomischen Formel folgt, dürfen Sie aus der Differenz der beiden Quadrate nicht die Wurzel ziehen.

Sie sehen: "Wurzel mal Wurzel hebt sich auf" gilt also nur dann, wenn die beiden Wurzelinhalte (also die Terme unter den Wurzeln) gleich sind.

helpster.de Autor:in
Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Dr. Hannelore Dittmar-IlgenHannelore hat Mathematik, Physik sowie Chemie und Pädagogik studiert und erklärt diese schwierigen Themenfelder schon immer gerne ihren Mitmenschen. Auch über ihre Hobbys schreibt sie leidenschaftlich gerne, das können unsere Leser in den Kategorien Essen & Trinken sowie Handarbeit entdecken. Sie ist eine unserer fleißigsten Autorinnen der ersten Stunde von HELPSTER.
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