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Was ist arctan?

Der arctan ist die Umkehrfunktion des Tangens im Intervall ]-pi/2,pi/2[. Das ist eigentlich schon die ganze Beschreibung. Vermutlich haben Sie diese aber nicht nachvollziehen können. Es steckt eine spezielle Problematik dahinter, die aber leicht zu veranschaulichen ist.

Der arctan gibt an, welcher Winkel welchem Tangenswert zu Grunde liegt.
Der arctan gibt an, welcher Winkel welchem Tangenswert zu Grunde liegt.

Was eine Umkehrfunktion ist

Damit Sie nachvollziehen können, was der arctan ist, sollten Sie sich ganz allgemein mit Umkehrfunktionen vertraut machen.

  • Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen einer abhängigen und einer unabhängigen Variablen. Die Funktionsgleichung wird meist als f(x) = Term dargestellt, wobei statt f(x) auch die abhängige Variable y geschrieben werden kann; y = Term.
  • Wichtig für eine Funktion ist die Eindeutigkeit. Für jede Variable x ergibt der Term immer genau eine Variable y. Beispiel f(x) = y = 2x + 3  oder f(x) = y = 2 x2 oder f(x) = y = tan x.
  • Wenn Sie für x eine beliebige Zahl einsetzen, werden Sie genau ein Ergebnis für y bekommen. Es kann aber durchaus möglich sein, dass Sie für zwei unterschiedliche x-Werte den gleichen Funktionswert y erhalten. Beispiel: Für die Funktion f(x) = 2 x2 gilt f(1) = 2 12 = 2 und f(-1) = 2 (-1)2 = 2.
  • Nun ist es aber denkbar, dass Sie einen Wert für die abhängige Variable y haben und wissen wollen, welchen Wert die unabhängige Variable x haben muss, damit y diesen Wert annimmt. Wenn Sie eine Funktionsgleichung aufstellen, die Ihnen angibt, welche x-Werte zu welchen y-Werten geführt haben, dann brauchen Sie die Umkehrfunktion. Im Prinzip vertauschen Sie x und y und lösen nach y auf. Für die Funktion f(x) = 2x + 3 bedeutet das: x = 2 y + 3 => x - 3 = 2 y => y = 1/2 x - 3/2. f-1(x) = 1/2 x -3.
  • Bei der Funktion f(x) = 2 x2 stoßen Sie an zwei Probleme. Es gibt für unterschiedliche x-Werte gleiche y-Werte. Um eine Umkehrfunktion zu erstellen, müssen Sie die Funkton in Intervalle unterteilen, in denen es keine doppelten y-Werte gibt. Im Intervall ]-unendlich,0[ und im Intervall [0, + unendlich[ gibt es für f(x) = 2 x2 keine doppelten Funktionswerte. Sie können die Funktion also in jedem der beiden Intervall umkehren, nicht aber im gesamten. Das andere Problem ist, dass Sie eine neue Rechenanweisung benötigen, wenn Sie die Funktion umkehren wollen. Nehmen Sie zum Beispiel das Intervall [0, + unendlich[ und die Umkehrung x = 2 y2, Sie kommen durch Division durch 2 zu 1/2 x = y2. Nun brauchen Sie eine neue Rechenanweisung, das Wurzelzeichen. Die Wurzel gibt an, welche Zahl mit sich selbst multipliziert das Argument unter der Wurzel ergibt. Beispiel: Wurzel 4 = 2 oder Wurzel 4 = -2. In dem Fall kommen Sie zu f-1(x) = + Wurzel (1/2 x).

Arctan als Umkehrung der Tangensfunktion

  • Die Funktion f(x) = tan x wiederholt sich periodisch. Im Intervall ]- pi/2,pi/2[ gibt es keine Wiederholungen des Funktionswertes. Ebenso im Intervall ]pi/2,3/2 pi[ etc., wenn Sie wie üblich im Bogenmaß rechnen. Sollten Sie in Grad rechnen, wäre das Intervall ]-90°,90°[.
  • Innerhalb des Intervalls ]- pi/2,pi/2[ können Sie also die Variablen vertauschen und wieder nach y auflösen. Sie bekommen x = tan y. Nun haben Sie ein ähnliches Problem wie bei der quadratischen Funktionsgleichung. Sie brauchen eine neue Rechenanweisung. Diese heißt arctan; arctan gibt an, zu welchem Winkel ein konkreter Zahlenwert gehört. Beispiel: tan x = 5 => arctan 5 = 0,43 pi. Wenn also der Winkel 0,43 pi beträgt, dann ist der tan davon 5.

Verdeutlichung über den Einheitskreis

  • Stellen Sie sich den Winkel alpha so vor, dass es der Winkel ist, den der Zeiger z gegen den Uhrzeigersinn überstreicht. Der tan alpha ist Gegenkathete durch Ankathete. Die Ankathete ist - wie Sie sehen können - 1. Also entspricht der tan alpha der Länge der Gegenkathete. Sobald der Zeiger über pi/2 hinaus dreht, wird die Gegenkathete wieder kürzer und nimmt folglich wieder Werte an, die sie im Bereich zwischen 0 und pi/2 schon mal angenommen hatte. Daher dürfen Sie für die Bildung der Umkehrfunktion den Bereich nach pi/2 nicht mehr nehmen. Wenn der Zeiger im Uhrzeigersinn dreht, werden Sie zu dem Winkel -pi/2 als Grenze kommen.
  • Der arctan bedeutet, dass Ihnen die Länge der Gegenkathete (blaue Skizze) bekannt ist und Sie den zugehörigen Winkel finden müssen. Verbinden Sie das Ende der Gegenkathete mit dem Mittepunkt des Kreises. Nun sehen Sie, welcher Winkel alpha zu der gegebenen Gegenkathete gehört.
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