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Volumen vom Dach berechnen - so gehen Sie vor

Das Dach soll isoliert oder ausgebaut werden und Sie benötigen das Volumen? Diese typische Schulaufgabe kann man mit etwas Mathematikkenntnissen leicht bewältigen und den Rauminhalt eines Satteldaches berechnen.

Viele Häuser haben ein Satteldach.
Viele Häuser haben ein Satteldach.

Was Sie benötigen:

  • Papier und Bleistift
  • evtl. Metermaß
  • Taschenrechner
Das Dach ist ein Prisma.
Das Dach ist ein Prisma. © Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen

Ein Satteldach ist ein Prisma

  • Die Dächer einfacher Häuser sind in den meisten Fällen sog. Satteldächer. Sie bestehen seitlich aus zwei Rechtecken, die in Schräglage mit einer Längsseite den Dachfirst bilden. An der Frontseite entsteht dabei ein gleichseitiges Dreieck (Foto 1).
  • Die geometrische Figur eines solchen Satteldaches ist ein Prisma - bekannt von der typischen Tobleroneschachtel, die in diesem Fall als Dach quer liegt.
  • Die Grundfläche eines solchen Prismas ist ein Dreieck, die Höhe des Prismas ist die Länge des Dachrechtecks.

Das Volumen berechnen - so gehen Sie vor

Welche Größen sind bekannt? Bei einer realen Aufgabe an einem Haus kennen Sie in den meisten Fällen die Dachneigung, also den Dachneigungswinkel α im Frontseitendreieck. Außerdem werden die Längen des Daches (Firstlänge) l sowie der Schrägseite (Sparrenlänge) s bekannt sein (vgl. Foto 1). Für das Berechnen seien als Beispiel eine Dachneigung von α = 25°, eine Dachlänge von l = 12 m und eine Schräge s = 3 m angenommen:

  1. Das Volumen eines Prismas lässt sich leicht berechnen. Es gilt V = Grundfläche x Höhe. Die Grundfläche beim Satteldach ist - wie schon erläutert - ein Dreieck; die Höhe des Prismas ist die Dach- bzw. Firstlänge; somit V = Dreiecksfläche x Firstlänge.
  2. Wenn Sie also das Volumen Ihres Daches berechnen wollen, müssen Sie zunächst die Fläche des Dachdreiecks an der Frontseite kennen. Für die Fläche eines Dreiecks gilt F = 1/2 Grundseite x Dreieckshöhe (1/2 g x h als Formel).
  3. Leider kennen Sie von dem Dreieck weder die Grundseite g noch die Dreieckshöhe h, sondern nur den Grundwinkel α sowie die Schrägseite s. Hier hilft Schulgeometrie weiter, denn es gilt:  sin α = h/s sowie cos α = 1/2 g / s. Daraus berechnen Sie h = s * sin α = 3 m * sin 25° = 1,27 m sowie g = 2s * cos α = 6 m * cos 25° = 5,44 m (wahlweise hätten Sie auch tan oder den Pythagoras benutzen können).
  4. Für die Fläche des Frontdreiecks erhalten Sie mit diesen beiden Größen F = g x h = 5,44 m x 1,27 m = 6,91 m² (alle Werte auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet).
  5. Für das Volumen des Daches gilt dann: V = Dreiecksfläche x Firstlänge = 6,91 m² x 12 m = 82,92 m³.
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